1 あなたならどうする?

問題1

 右の図の茶色の部分は,山を表しています.今,3軒の家が山の斜面に建っているとします.すなわち,
赤い屋根の家は,起点(0の位置)から水平方向に 200m,海抜 200m の位置
緑の屋根の家は,起点(0の位置)から水平方向に 400m,海抜 500m の位置
緑の屋根の家は,起点(0の位置)から水平方向に 800m,海抜 600m の位置

にあるとします.ここで問題です.では,起点(0の位置)から水平方向に 600m に家を建てるとすると,一体その家は,海抜何 m のところに位置すると考えますか?

Fig.6.1.1

問題2

 Fig.6.1.2は,ある地域を上空から見た図です.その地域に,3軒の家が建っていて,ここに一本の道路を建設することになりました.では,どのように道路を建設するとよいでしょうか? 条件は,

 ・その道路は直線であること.

 ・家からその道路までの建設費用は最小にする(すなわち,各家から道路までの  距離の合計を最小にする)

とします.あなたなら,どのように道路を建設しますか?

Fig.6.1.2

 そこで,上記の問題をより具体的に体験するために,シミュレーションをしてみることにしましょう.

 Fig.6.1.3において,左の家の書いてある平面上(左右どちらの平面でもよい)でクリックし,直線を引いてみて下さい.

 いずれの場合においても,なるべく,どの家にも近い距離に直線を引くようにするところがコツです.そこで,目安として,Fig.3の下の値は,

Fig.6.1.3

直線と家までの距離の2乗した値の和

を表しているので,それらがなるべく小さくなるように直線を引けばよいわけです.ただし,詳細については今後述べることにしますが,その距離は,

問題1の場合,家と直線の距離を

家の y 座標 直線の y 座標の差

とし,問題2の場合は,

家と直線の距離を垂直方向に関する距離

を意味しています.

 Fig.3の , は求める直線上の点を表しています.いずれの場合も,その値が小さくなるような直線を見つけ出すことが問題です.あなたが引いた直線の方程式は,自動的にグラフ上部に表現されています.

 どのようにすれば,それぞれの最小値を見つけ出すことができるか考察してみてみましょう.

 この章は,このように問題定義だけで終えることとしますが,やがて,問題1は回帰分析に,問題2は主成分分析へとつながっていこととなります.