2 決定は検定で

Fig.1


 「あなたは大変重い病気です。この病気にかかった人で生き残れるのは10人にたった1人です。しかし,ご安心下さい。あなたが私のところにいらしたのは,とても幸運でした。なぜなら私はこの病気の患者を,最近9人みました。そして,彼らは全員死んでしまったのです。Statistics and Truth:Putting Chance to Work C.Radhakrishna Rao

 §3ー2イチロウと二項分布において,2001 年度のイチロウの打率成績に基づいた分析を行ないました。今,右のグラフは,打率 0.375 で,打席に 4 回立ったときのヒットの本数の確率です。

 例えば,4打数0安打の確率は 0.15(15%) となります。では,ここで問題です。次の例題を考えてみてください。

例題1 イチロウが,昨年やってのけた4打数4安打は,果たして,まれなことが起こったといえるのでしょうか?
[解答] ヒットの出る回数を値にとる,確率変数を X とすると,

となります。さあ,私たちは,このデータよりまれなことが起こったのか,そうでないのか判断しなければなりません。そこで,このままだと,判断することは不可能です。したがって,私たちは,まれなことなのか,そうでないのかを判断するための基準を設けなければなりません。ここで,次のように設定します。

と言います。まれな事象と言っても,数学では通用しません。それを,数値で表すさなければ利用できないのです。上の場合 2% のことが起こったので,とても珍しい,まれなことが起こったといえます。

 では,4打数0安打ではいかがでしょう? これは,P(X=0)=0.15 なので,あまり,5% を判断基準としたとき珍しいこととは言えません。

 一般に,母集団について(今までの経験より)ある仮定をおき,それが正しいか否かを判定する統計的方法を検定と言い,初めの仮定を仮説と呼びます。仮説のもとで定められる確率分布について,「まれなこと」という判断基準として,起こる確率 α を有意水準といい,また,その範囲を棄却域と呼びます。よく,α=0.05,α=0.01 が用いられます。

例題2 受験生A君は,これまでの試験では3題中2題しか問題を解くことができなかったのですが,今月の模擬テストではなんと8題中7題も解くことができました。このことから,A君の実力は上がったと判断できるでしょうか? 有意水準 5% で検定せよ。
[解答]
Step1. まず,何を基準とするかが問題です。この場合,今までの正解率を基準とし,今回の正解率を考察するので,

という仮説をたてます。すると,その実力で,今月受けた模擬テストの結果が,とても珍しいという判断が下されれば,実力に変化が生じたと判断することにします。

Step2. では,A君が今までの実力で,8題の問題に挑戦したときできる確率分布を求めることにしましょう。

 今までのA君の実力は,3題中2題正解するので,正解率は と考えられます。したがって,A君の正解した問題数を値にとる確率変数を X とすると,その確率分布は,



となります。これをグラフで見ますと,左のようになります。
Step3. さあ,ここで考えてみましょう。A君が仮に,7題または8題正解したとします。その確率は,

となります。有意水準を 5% とするので,つまり,まれなことが起こる確率を 5% としなさいというので,7題正解したという事象は,

となり,5% をはるかに越えるので,まれな事象が起こったということにはならない。したがって,残念ですがA君の実力でもありえる,ゆえに,実力がついたとは判断できないといえます。

自然を式で表すと? ブロッコリーを数学で。


  このように,現実に起こったことがらを定式化し,数学という手段を利用して分析していくことが大切だと思います。

 右のアプレットは,フラクタルという数学の分野です。偶然起こっていく中にもある法則が見られます。右のバーを上下に動かすことにより,図形が変化します。何か,ブロッコリーができていくみたいです。これを応用しますと,樹木の成長する過程を再現することが可能かもしれませんね。