3 よく利用する平均

 ここで,まず,第2章で学びました離散変量における(算術)平均についてもう一度説明しましょう。一度に分からなくても,何とかなります。ゆっくりと,ゆっくりと。


 左のように,英語を重視する山の学校と,それと対象に数学を重視する海の学校があります。学年末に同じ問題を出題したところ,山の学校の生徒のA君も,海の学校の生徒のB君も同じ得点を取りました。ところが,平均を見たところ,A君は60点,B君は70点となっていました。一体,どのような平均の計算を行なったのでしょうか?

 どうしてこのようなことが起こったのでしょうか? まず,前の章で学びました,算術平均を適応してみましょう。すると,

となって,山の学校も海の学校も同じ平均点となります。ところが,この場合では,数学と英語の得点の比率が異なっています。つまりこの比率から,山の学校では英語が重視され,海の学校では数学が重視されていることが分かります。。このような場合,平均は次のように計算されているのです。

すなわち,これは次のように書き換えることができます。



 このことを,図でみることにしましょう。左の図を見て下さい。数直線上に,英語(50点),数学(80点)が記入されています。

 このとき,英語と数学の比率が 2:1 であるということは,英語と数学の得点を結んでできる線分を 1:2 に分ける(内分する)ということといえます。同様に,英語と数学の比率が 1:2 であるということは,英語と数学の得点を結んでできる線分を 2:1 に分ける(内分する)ということといえます。(与えられた教科が,3種類以上ではどのようになるでしょうか?)

 一般に,離散変量における(算術)平均は次のように拡張されます。

このとき,p1+p2+…+pk=1 であることに注意して下さい。また, のとき,ちょうど算術平均となります。

 この形を,連続変量に拡張しましょう。それを,下の表にまとめておきます。

平均と分散


                離散型

          連続型




             














 ここで,積分記号が出てきていますが,足し算のように思っていて下さい。積分に興味を持っている方は,ここを参照してみましょう。そして,離散型の確率 p に相当するものが,密度関数 f(x) と考えてみて下さい。

バイオリズム


 少し話しは,横道にそれるのですが,右のシュミレーションはバイオリズムです。下の空欄に,左から,各自の

を入力し,最後にリターンキーを押して下さい。すると,あなたがこの世に現れてからの日数,とその日を含む月のバイオリズムが現れます。ただし,暦は西暦(グレゴリオ暦)として下さい。西暦が実施されたのは,1582年10月15日からであり,国によっても採用時期は異なります(参考文献 こよみハンドブック1994-1996,大阪市立科学館)。したがって,それ以降年代については,保証されていません。

 バイオリズムにおいて,3曲線と横軸との3交点が近くかたまっているところが不安定で注意を要するそうです。このバイオリズムは,「人間の体には,身体−23日周期感情−28日周期知性−33日周期,の3つのリズムの波がある」というところから成り立っているそうです。

 「諸行無常」,人間,生きていれば良い時も悪い時もあります。バイオリズムからも分かるように,大きなうねりの中に人間は生きています。

 でも,平均(どのように定義するか分かりませんが・・・)をとれば,「とんとん」で 0 となるのかもしれませんね。では,次に登場する分散はどんなものでしょうか? 「波瀾万丈」という言葉があります。それは,生きるうえに生じる「誤差」,つまり,生き方の分散(または,標準偏差)が大きなことを意味するのだと思います。対処できる範囲を,誤差と呼ぶのかもしれませんね。果たして,あなたの生き方の分散は,大きいでしょうか? それとも,小さいでしょうか?

 生き方の分散と説明しましたが,統計学においても,分散とは一つの定規,または,目安のようなものです。すごく有効なものなのです。何かを求めようとしたとき,その目安の中に入っているかどうか,それが推定となります。

 そこで,最後の大きな定理を述べるまでに,平均と分散の細かな性質についてまとめておくことにしましょう。独立については,ここをクリックして下さい。

 上の公式において,平均演算子「E」は,期待値 Expectation の頭文字からきているものです。上の式の中で,2つ目の公式が統計ではよく用いられます。覚えておいた方がよいでしょう。

 一度に,理解できなくてもかまいません。たびたび繰り返し,利用していきますので,そのうちに理解できてくると思います。では,次に,平均と分散の関係を目で確かめていくことにしましょう。この章は,これでおしまい。