§２　微分法
９．運動の速度
　まず，微分を物理へ応用してみましょう。

　この単元の初めで，「速度とは位置の瞬間の変化の割合」であるといいました。つまり，ある物体の位置が y=f(t) で表されるとき（ここの t は時間を表します），a 秒後の速度は，y を t で微分を行い，t へ a を代入することにより求めることができます。と言っていても，きっと分かり難いと思いますので，具体的な例を用いて説明してみましょう。

　ある学校の高さ４５ｍある屋上から，ボールを水平に秒速３０ｍ/秒で投げることにします(時速にすると，１０８ｋｍ/時間となるので，１５０ｋｍ/時間で投げる伊良部よりかなりおそいですね）。地球には重力加速度がはたらいているので，ボールは落下して行きます。その加速度は，９．８ｍということは知られています。この時，ボールの位置は次のように表されます。

少々ややこしくなってきましたが，少し我慢してください。上の理屈でいうと，これが t 秒後のボールの位置ですから，それぞれの式を時間 t で微分すると，t 秒後の速度を求めることができますので微分してみます。

ここで，g は定数(重力加速度=9.8)としています。


このことは，x軸方向の速度は，常に一定の値で運動し，ｙ軸方向へは，時間の9.8倍の速さで運動していることを示しています。マイナスがついているのは，地面方向に向かっているのでマイナスがついているだけで，余り気にしなくてもよいです。

　とりあえず，左の図を見てイメージをつかんでください。

　ボールが通った軌跡を見ると，放物線の形をしています。放物とは，物が落ちていく形をしていることからその名がついたのでしょう。確かに，放物線になっていますね。

　他にも，速度に関連する問題がありますから，紹介しておきます。

例題１．まっすぐな軌道を走っている列車がある。ブレーキをかけてから t 秒経過する間に走る距離を s ｍとするとき，

の関係があるものとする。この列車はブレーキをかけてから何秒後に止まるか。また，それまでに何ｍ走るか。
[解答]　s = 27t-0.54t2　……(1)　
　s を t で微分すると，

　これが t 秒後の速度を表している。列車が止まるのは速度が 0 になるときであるから，s'=0 とおいて，

　だから，ブレーキをかけてから，２５秒後に止まる。

　t=25 を(1)に代入すると，

　だから，ブレーキをかけてから止まるまでに337.5m走る。

練習問題１　直線上を運動する点の，動きはじめてから t 秒後の座標 s について，

      s = 12t-t3

の関係があるものとする。このとき，次のものを求めよ。

(1)　t 秒後の速度　　(2)　速度が 0 となる時刻









練習問題２　原点０を出発して，x 軸上を動く点 P の t 分後の座標 x ｍが


で与えられているとき，次の問いに答えよ。
(1)　t=3 のときの速度を求めよ。
(2)　出発してから８分後までに動いた距離を求めよ。











　練習問題２は少々難しいかも知れませんが，運動の方向もかかわってきますので，それに注意しさえすればそんなにややこしいことでもないので，数直線に絵を描いてどこで方向が変わるのか，目で見ながら動いた道のりを理解してゆくとよいでしょう。

　それでは，最後に，微分に関するいろいろな問題を解いてみましょう。