７　母分散の推定(n-1で割る理由)

　母集団の情報を得るために,母集団から無作為標本をとるしか手が出せません。その時，標本から得た平均 ，分散 は，その情報は母集団分布の平均μ，分散 σ² (母数と呼びます)を知る大きな手がかりとなります。

　しかし，この無作為標本をいくつかとるとき，その標本から得られる平均や分散が，真(母集団分布)の平均や分散と比較し，偏りをもって得られるようであるならば困ります。せっかく，何回も無作為抽出を行なっているにもかかわらず，真の平均や分散より偏って得られるのなら意味がありません。ここで，私たちは，偏っていない(不偏 unbiased) ということを，

ヤシの実はヤシの木の周りにある

いくつかの標本の平均の平均が母平均になる，すなわち，
E[それぞれ抽出した標本の平均]=μ

いくつかの標本の分散の平均が母平均になる，すなわち，
E[それぞれ抽出した標本の分散]=σ²

とします。これを満たす平均や分散を，不偏推定量(unbiased estimator)と呼びます。

　今，X₁,X₂, … ,X_ｎ を平均 μ(<∞) と分散 σ²(<∞) をもつ分布から得られた標本とします。この時，

E[X₁]=μ

となりますので，X₁ は μ の不偏推定量となります。また， としたとき，

となりますので， は μ の不偏推定量となります。

　さあ，次は，分散です。もう一度，確認しておきましょう。

　今，X₁,X₂, … ,X_ｎ を平均 μ(<∞) と分散 σ²(<∞) をもつ分布から得られた標本とします。つまり，E[X_i]=μ，E[(X_i-μ)]=σ² (i=1,2,…,n) とします。この時，標本から得られる母集団の分散を推定値を としたとき， が不偏推定量かどうか調べます。すなわち， の値を求めてみましょう。

となります。ここで，E[X_i²] および ² を μ と σ を用いて表してみます。

したがって，上式は，

となります。したがって， は不偏推定量とは言えません。しかし，=(n-1)σ² となりますから，そこで，新たに とおくと，E[s²]=σ² となり，s² は不偏推定量となります。

　とても，難しくなりました。百聞は一見に如かず，左のシミュレーションを見てください。1万個の有限母集団から，50個の成分を持つ標本を取り出す操作を，繰り返し行なったとき，どちらの分散の平均がが，母集団の分散に近いか比べてみてください。やはり，n-1 で割った方が，近くなるでしょう。

　これは，標本の分散を求めるとき，標本平均を用いています。したがって，標本数が n 個あるとき，平均が求まっているので，その平均値を求めると，X_n=n-(X₁+X₂+…X_n-1) で求めることができます。したがって，自由度は n ではなく，n-1 となっているからとして理解しても構いません。

　また，n が十分大きければ，E[]-σ²=-(1/n)σ² となりますので，漸近的には不偏となります。