7.t分布の性質
 X,Y が互いに独立で,X は N(0,1) にしたがい,Y が自由度 n のχ2分布にしたがうとき, の分布が t(n) となります。どのような時に用いられるのか,どのようにして導き出されたのか,少し考えてみましょう。
 
 一般に,N(μ,σ2) における標本平均において, は N(0,1) にしたがうから,σが既知のときμを推測することが可能です。しかし,σ2が分かっていないとき,思い切って標本分散 S2 を利用すると, は正規分布にしたがいません。ところが,

と仮定し,そして,これらの比を考えますと,たがいに,σが消去されます。この仕組みにコゼットが着目し,t分布が導き出されました。

 下のグラフ(大きな計算をしますので,しばらく待って下さい!),で確かめてみましょう。

確率密度関数: 


平均: 

分散:  



性質1.t分布の正規分布近似
 t分布 t(n) と正規分布 N(0,1) には,次のような関係があります。

[証明]ガンマー関数の性質と e の定義を利用します。

 では,証明してみましょう。