４．チョコっと正規分布

　ところで，前章で出てきました 正規分布 についてお話しておきましょう。

ガウス(新数学辞典より)

　正規分布は，ガウス(Gauss,1777〜1855)によって発見された分布です。ガウスの活躍は幅広く，純粋数学から物理，天文学，測地学などに至ります。その中の天文学において，天体の位置を測定するときできる誤差から誕生した分布で，一度は皆さんも受験のとき目にした分布です。

　確率変数 X が正規分布にしたがうとき，その密度関数 f(x) は，

で与えられます。

　そこで，まず，正規分布の平均 Ｅ[Ｘ]=μ と，Ｖ[Ｘ]=σ² を求めてみましょう。ここは，積分が出てきます。苦手だという方はとばして，最後の結果だけ覚えておきましょう。ここをクリックすると飛びます。

となります。次に，分散を求めてみましょう。

　すなわち，正規分布の密度関数 の平均 Ｅ[Ｘ]=0，分散 Ｖ[Ｘ]=1 であることが分かります。このような正規分布　normal distribution の頭文字を取って Ｎ(0,1²) と書きます。

　次に，確率変数 Ｘ が Ｎ(0,1²) に従うとき,新しい確率変数 Ｕ=σＸ+μ を考えます。すると,

Ｅ(Ｕ)=σＥ(Ｘ)+μ=μ

Ｖ(Ｕ)=σ²Ｖ(Ｘ)=σ²

となります。一方，上の変換により，確率変数 Ｕの確率密度関数 g(u) は，x=(u-μ)/σ，|dx/du|=1 なので，

となります。これは，平均 μ，分散 σ にもつ確率変数 Ｕ の確率密度関数 g(u) となります。このとき，確率変数 Ｕ は，Ｎ(μ,σ²) に従うと言います。

平均 μ，分散 σ² の正規分布

　さあ，準備が整いました。もう数学的なことは，出てこないので心配しないで下さい。

　左のシュミレーションを見て下さい。最初に描かれていますグラフは，Ｎ(0,1²) のグラフです。

　そこで，ｘ軸下の平均をずらしてみましょう。マウスを，←平均→ の上に持っていき，左右にドラッグし動かしてみて下さい。すると，グラフは左右に移動すると同時に，密度関数の平均部分が変化します。次に，←標準偏差→ の上に持っていき，左右にドラッグし動かしてみて下さい。すると，ばらつき具合が変化すると同時に，密度関数の標準偏差部分が変化します。

　正規分布の性質は，

積分と言っても，大変です。そこで，このような場合，すでに正規分布表として計算機で求められています。今回，その積分していくシュミレーションを作りましたので，それを用いて，実際に面積を求めることにしましょう。

例題１　確率変数 Ｘ が標準正規分布 Ｎ(0,1²) に従うとき，次の確率を求めよ。

(1)　Ｐ(-0.67≦Ｘ≦1.64)

(2)　Ｐ(1.21≦Ｘ≦2.00)

[解答]右のシュミレーションを用いて，求めることにしましょう。
(1)の場合，直線 x=-0.67，x=1.64 と曲線とｘ軸で囲まれた部分の面積を求めればよいので，左の括弧に -0.67，右の括弧に 1.64 を入力し，最後にリターンキーを押すと求めることができます。計算結果は，0.7(0.69807) となります。(2)も同様に求めると，0.09(0.09039)となります。

練習問題１　確率変数 Ｘ が標準正規分布 Ｎ(0,12) に従うとき，次の確率を求めよ。 (1)　Ｐ(-1.96≦Ｘ≦-1.96) (2)　Ｐ(Ｘ≦1.2) (3)　Ｐ(Ｘ≧2.55)
練習問題２　確率変数 Ｘ が標準正規分布 Ｎ(0,12) に従うとき，次の確率を求めよ。 (1)　Ｐ(|Ｘ|≦1.5) (2)　Ｐ(|Ｘ|＞0.9) (3)　Ｐ(-1.56≦Ｘ≦0.54)

　いかがですか？　面積と確率の関係が理解できてきましたでしょうか？　しかし,これでは,いつも確率変数 Ｘ が標準正規分布 Ｎ(0,1²)だけにしか適応できません。そこで，一般の正規分布 Ｎ(μ,σ²) においても，与えられた区間に対する確率を求める方法を紹介します。それには，先に説明しました変換(詳細はここをクリック)を用います。あともう少しです。がんばりましょう。

　確率変数 Ｕ の分布が Ｎ(μ,σ²) の正規分布にしたがうとき，Ｕ がある範囲の値をとる確率は，Ｕ=σＸ+μ より，

の分布 Ｎ(0,1²) から求めることができます。

標準正規分布 Ｎ(μ,σ2)	変　換	正規分布 Ｎ(0,12)

　とにかくどのように利用するか例題で示すことにしましょう。

例題２　Ｕ が正規分布 Ｎ(３,５²) に従うとき，確率 Ｐ(Ｕ≦７) ，Ｐ(２≦Ｕ≦５)を求めよ。
[解答]　平均 μ=3，分散 σ²=5² なので，Ｘ=(Ｕ-3)/5 として，標準正規分布へ変換します。すると，

Ｐ(Ｕ≦7)=Ｐ(Ｘ≦(7-3)/5)=Ｐ(Ｘ≦0.8)=Ｐ(Ｘ≦0)+Ｐ(0≦Ｘ≦0.8)=0.5+0.2881=0.7881≒0.79

Ｐ(2≦Ｕ≦7)=Ｐ((2-3)/5≦Ｘ≦(7-3)/5)=Ｐ(-0.2≦Ｘ≦0.8)=0.3674≒0.37

として,求めることができます。

例題３　アメリカのある大学の男子学生 8000 人の身長の分布は，平均 175.26cm ，標準偏差 7.62cm の正規分布に従うとする。その時，

(1)　身長が 182.88cm 以上の学生は全体の何%で何人いるか。
(2)　身長が，150cm 以下の学生は全体の何%で何人いるか。

[解答]　Ｕ が正規分布 Ｎ(175.26，7.62²) に従うとする。x=(u-175.26)/7.62 によって変換する。

(1)　Ｐ(Ｕ≧182.22)=Ｐ(Ｘ≧0.913)=0.5-0.319=0.181 となる。したがって，18.1%.ゆえに,8000×0.181=1448 (人)となる。
(2)　Ｐ(Ｕ≦150)=Ｐ(Ｘ≦-3.315)=0.5-0.49954=0.00046 となる。したがって,0.46% で，8000×0.46=3.68 (人)となる。

練習問題３　ある 200 点満点の模擬テストを 5000人 に行い，平均 123.5点，標準偏差 21.3点 を得た。このとき， (1)　180点 以上取った学生は何人いるか。 (2)　50点 から 100点 までの間に何人の学生がいるか。

　正規分布は，よく研究されている分布で，他にも多くの利用方法があります。今後，そのいくつか紹介していきたいと思います。