１４ 回帰分析の流れのおさらい

　最初に，回帰直線を求めていく流れのおさらいをお話しし，そして，考え方について述べます．

　そこで，独立変数が１つの場合の例を取り上げます．

　今，阪神の10人の年棒と打点のデータが得られたとします．このとき，年棒( ｙ：目的変数 )と打点( x：説明変数 )の間にどのような関係があるのか，できたら打点が得られれば，年棒も計算できるようにしたいですね．

Ｓｔｅｐ．１　y と x の間に，

式１４．１

という関係が成り立つことを仮定します．

Ｓｔｅｐ．２　そして，式１４．１へTable 6.14.1の観測値を代入します．すると，

Table 6.14.1
　 選手 年棒 打点
1 金本 26000 125
2 赤星 13000 38
3 シーツ 20000 85
4 今岡 25000 147
5 鳥谷 2000 52
6 矢野 17000 71
7 藤本 4700 36
8 桧山 12000 40
9 スペンサー 7000 33
10 関本 3000 24

式１４．２が得られます．
式１４．２

Ｓｔｅｐ．３　これを行列で表現すると，

式１４．３

となります．

Ｓｔｅｐ．４　とにかく回帰係数 β0 と β1 を求めればよいのですから，少しテクニカルなのですが 式１４．３ の両辺に 式１４．３ の第一項の転置行列を掛けます．

式１４．４

Ｓｔｅｐ．５　これを計算しますと，

式１４．５

　となります．

Ｓｔｅｐ．６　式１４．５の両辺に逆行列を掛けると，

式１４．６

が求まります．よって，回帰直線 ｙ = 883.8 + 185.66 x が求まります．上の，アプレットで確かめてみてください．決定係数は Ｒ2=0.774 となり，相関はありそうです．この方法を単回帰分析と呼びます．

　上の例では，説明変数が１つ(打点)だけでしたが，複数の場合でも同じように求めることが可能です．それを，重回帰分析と呼びます．実際に，説明変数を上の例に増やしてみましょう．

Ｓｔｅｐ．７

　上の説明変数は，打点だけでしたが，Table 6.14.2のように，年齢，試合という項目を追加してみることにします．上と同じように計算すればよいわけですが，逆行列を求めることなど，計算が大変です．そこで，下のアプレットを利用して計算することにします．観測値の個数は１０個，説明変数は３とします．

　
Table 6.14.2
　 選手 年棒 打点 年齢 試合
1 金本 26000 125 37 146
2 赤星 13000 38 29 145
3 シーツ 20000 85 34 137
4 今岡 25000 147 31 146
5 鳥谷 2000 52 24 146
6 矢野 17000 71 37 138
7 藤本 4700 36 28 119
8 桧山 12000 40 36 119
9 スペンサー 7000 33 33 108
10 関本 3000 24 27 97
Ｓｔｅｐ．８　

　 Table 6.14.2の観測値を，右のアプレットへ代入すると，回帰直線

y = -31554+130x1+844x2+72x3
が得られます．このときの決定係数は，
R2 = 0.927
となります．しかし，３つの変数がどれだけ寄与しているのか，調べる必要があります．

Ｓｔｅｐ．９　

　 上のアプレットの t-検定 のタブを押して調べてみます．
｢打点」有意確率 = 0.01
｢年齢｣有意確率 = 0.013
｢試合」有意確率 = 0.365

となります．このことより，｢試合」の有意確率より，その偏回帰係数は意味を持たないことを意味しています．

Ｓｔｅｐ．10　

　 では，「年棒」，「打点」と「年齢」に関し，上のアプレットを利用して重回帰分析を行ってみましょう．すると，
y = -22172+798x1+152x2

が得られます．

　このときの決定係数は，R2 = 0.916　となります．また，ｔ-検定の結果は，

｢打点」有意確率 = 0.012 ｢年齢｣有意確率 = 0.002

となり，｢年棒｣は，｢打点｣および｢年齢｣と相関があることがいえます．