3.ポアソン分布の性質
 二項分布 Bin(n,λ/n) において,サンプルの数 n を,n→∞ としたときの極限分布が,ポアソン分布 Po(λ) となります。その求め方は,2.二項分布の性質で述べられていますので,参考にして下さい。

 この分布は,単純で,ただ一つの値 λ によって決まります。下のグラフにおいて,λ の値をいろいろと変化してみて下さい。

確率密度関数: 


平均: E(X)=λ 

分散: V(X)=λ 



性質1.ポアソン分布の積分表示
 ポアソン分布を,積分で表現すると次の関係が成り立つ。

[証明]まじめに,右辺の部分積分を行なうことにより,左辺を求めることができます。

性質2.ポアソン分布の正規分布近似(上のシュミレーションにおいて,x の値を動かしてみて下さい。)
 ポアソン分布と正規分布の間には,次の関係が成り立つ。
任意の実数 α に対して,

が成り立つ。
[証明]まず,利用する公式をまとめておきます。

また,上の性質1も用います。では,証明を始めます。


性質3.ポアソン分布のχ2分布
 
[証明]性質1において,t=χ2/2 とおくとよい。