５ 二項分布とポアソン分布

　長い間，よく付き合っていただいています。ゴールは，もう少しです。

　二項分布に関して，残された課題がもう一つあります。二項分布を正規分布で近似するとき，一般の教科書には十分大きいとありますが，グラフを見れば，試行回数がそんなに十分大きくなくても，ほんの 10 回程度でも，対象とする確率が 0.5 に近ければ近似がよいことが分かりました。では，対象とする確率が 0.5 に近くない場合どうすればよいか，この場合が残されています。

　そこで，登場するのが

(←これが，ポアソン分布の本体です！)

を度数関数(確率関数)に持つポアソン分布なのです。

　右のグラフが，二項分布とポアソン分布です。与えられた確率が，小さければ試行回数 n が余り大きくなくても十分近似できることが分かります。証明はここを見てください。それを，数学的に記述しますと，

ポアソンの定理
P_n を n とともに減少する 0<p_n<1 なる実数とし， なる極限を持つとする。このとき，

　(k=0,1,2,…)

となります。これを理解するため，次の例題で考えてみましょう。

例題１　10 個の製品の中に 2% の不良品が入っている。10 人のうち不良品が一つも入っていない確率はほぼいくらか。
[解答]　不良品の数を値にとる変数を x とすると，

p(x=0)=₁₀C₀ (0.02)⁰ (1-0.02)¹⁰

となります。このとき，0.02 は十分小さい。したがって，ポアソン分布で近似すると，λ=10×0.02=0.2 なので，

となります。このあと，ポアソン分布表がありますから，k=0,λ=0.2 として求めますと，p(x=0)=0.81873 となります。実際，もともとの式を計算しますと，p(x=0)=0.98¹⁰ =0.81707 となりますから，結構よい近似となっていることが分かります。

　超幾何分布と二項分布の関係において，

が成り立ちます(詳しくはここをクリック)。これは，実際の計算においてとても有効なものとなります。と言いますのも，全体の個数が多い場合，超幾何分布を二項分布で近似できるということは，非復元抽出(超幾何分布)を復元抽出(二項分布)で考えても構わないといえます。したがって製品の個数が多い場合，復元，非復元を意識しなくても構わないということになります。

練習問題１　5000 個の製品からなる仕切りの中に 3% の不良品が入っている。この仕切りから 10 個の製品を取り出すとき，高々 2 個の不良品が含まれている確率はほぼいくらか。

　このように，二項分布はあるときは正規分布で，またあるときはポアッソン分布で近似されます。その使い分けは，与えられた確率の大きさに依存することが分かります。