４　パーティーのおつりは？

　同窓会の幹事を行なって，頭を悩ますことがおつりの問題です。


　参加費を 2500 円としたところ，幹事の気持ちも知らず，当然のように 3000 円を出す人がいます。｢今まで，みんなの面倒を見てあげているのだから，当日くらい協力してほしい｣と思うのですが・・・。幹事も慣れたもの，同窓会が始まるまでに，フロントへ行って先に何枚かの 500 円硬貨を用意しておきます。でも，いくら用意しておけばよいのでしょうか？　そのシミュレーションを行なうことにしましょう。

　下のシミュレーションを見て下さい。入力値を，

とします。横軸はパーティの集金が完了したときに残った 500 円硬貨の枚数を表し，縦軸は上の条件でパーティーを 1000 回行なったときの回数を表します。例えば，横軸が -30 で，縦軸が 50 としますと，1000 回パーティを行なって，500 円硬貨が 30 枚足りなかった回数が 50 回あったということを意味します。




　上のシミュレーションから，500 円を持っている人の確率と，パーティーに参加する人数を与えると幹事は 500 円硬貨をいくら用意しておけばよいか想像はつきます。しかし，具体的にどれだけの量を用意しておけば判断がつきません。

　その目安を統計は与えてくれるのです。つまり，判断基準を用意してくれます。それは，次のように考えます。

　100 人に対して，500 円硬貨をもっている人の確率を 0.5 としたとき，500 円硬貨を持っている人数の区間をどのようにとれば，95% 以上になるか。これを，数学的に考えると書き換えます。

問題　500 円を持っている確率を 0.5 とする。今，あるパーティーに参加した 100 人に対し X 人が 500 円硬貨を持っていると仮定すると，P(|X-50|<a)≧0.95 となる a の値を求めよ。(50 は 100×0.5=50 から得られた値です。)
[解答]
　500 円を持っている人数を値にとる確率変数を X とすると，X は二項分布 Bin(0.5,100) にしたがうから，平均値 μ=100×0.5=50，分散 σ2=100×0.5×0.5=25 とすると， は近似的に，標準正規分布 N(0,12) にしたがう。よって，X-40=5Z となるので，

となる。したがって，正規分布表より，0.2a=1.96 より a=9.8 となる。(95% のときは，よく利用するので，1.96 となることを覚えておくと便利です。)

　このことは，P(40<X<60)>0.95 であることを意味します。つまり，100 人中 500 円硬貨を持っている人は，95% の割合で 40〜60 人となります。したがって，

500 円硬貨が 60 枚あるとき，40 人におつりを渡すことが可能です。よって，20 枚用意しておけば，十分であることが分かります。95% が一つの判断基準となっています。つまり，100回 パーティーを行なったとき，95 回はおつりに困らないでしょう，ということです。この他，99% という判断基準もよく用いられます。

練習問題１　上の問題において，500 円硬貨を持っている確率が 0.4 であるとき，P(|X-40|<a)>0.95 を満たす a の値を求めよ。