２．二項分布の性質
　１回の試行で，事象 A の起こる確率を p の試行を，独立に n 回行なうとき，事象 A の起こる回数 X の分布が，二項分布 Bin(n,p) となります。
　
　この分布は，よく用いられる分布です。二項分布の近似には，ポアソン近似，正規近似，二項分布の部分和はＦ分布が用いられます。
　

確率密度関数：


平均：E[X]=np　

分散：V[X]=npq　



性質１．二項分布のポアソン分布近似（ポアソンの定理）
　pn を n とともに減少する 0<pn<1 なる実数とし， なる極限をもつするとき，

ただし，k=0,1,2,･･･ とする。

［証明］npn→λ のとき，(1-pn)n→e-λ を用います。









性質２．二項分布の正規分布近似（ラプラスの定理）

法則収束
P(X=x)=0 なるすべての
x について，

のとき，{Xn} は X に
法則収束すると言います。

　X1,X2,･･･,Xn を二項分布 Bin(1,p) にしたがう確率変数とするとき，

は正規分布 N(0,1) に法則収束する。すなわち，

［証明］中心極限定理「　は，正規分布 N(0,1) に法則収束する」ことを用いる。すなわち，

において， を代入すると証明できる。
　また，このときの確率密度関数も，n を十分大きくとれば，正規分布に近づきます。つまり，

が成り立ちます。次に，このことを，少々証明がややこしいですが見てみることにしましょう。スターリングの公式 を用います。




性質３．二項分布とＦ分布には次のような関係があります。

なお，上の公式の第２積分の値は，Ｆ分布表から求めることができます。