2.二項分布の性質
 1回の試行で,事象 A の起こる確率を p の試行を,独立に n 回行なうとき,事象 A の起こる回数 X の分布が,二項分布 Bin(n,p) となります。
 
 この分布は,よく用いられる分布です。二項分布の近似には,ポアソン近似,正規近似,二項分布の部分和は分布が用いられます。
 

確率密度関数:


平均:E[X]=np 

分散:V[X]=npq 



性質1.二項分布のポアソン分布近似(ポアソンの定理)
 pn を n とともに減少する 0<pn<1 なる実数とし, なる極限をもつするとき,

ただし,k=0,1,2,・・・ とする。

[証明]npn→λ のとき,(1-pn)ne を用います。










性質2.二項分布の正規分布近似(ラプラスの定理)

法則収束
P(X=x)=0 なるすべての
x について,

のとき,{Xn} は X に
法則収束すると言います。

 X1,X2,・・・,Xn を二項分布 Bin(1,p) にしたがう確率変数とするとき,

は正規分布 N(0,1) に法則収束する。すなわち,

[証明]中心極限定理 は,正規分布 N(0,1) に法則収束する」ことを用いる。すなわち,

において, を代入すると証明できる。
 また,このときの確率密度関数も,n を十分大きくとれば,正規分布に近づきます。つまり,

が成り立ちます。次に,このことを,少々証明がややこしいですが見てみることにしましょう。スターリングの公式 を用います。





性質3.二項分布と分布には次のような関係があります。

なお,上の公式の第2積分の値は,分布表から求めることができます。