§３　確率と面積の関係(3)

　先の章の最後では，結構ややこしくなってしまいました。ここでは，まず，離散型，連続型標本空間，確率変数，分布の具体的な例題を用いた説明を行なうことにしましょう。まず,離散型から始めます。

Fig.1

例題１　さいころを振って出る目の確率分布を求めよ。ただし，さいころはどの目も同じように出るものとする。
[解答]　さいころを振って出る目をＸとします。それと，確率 ｐ を対応させますと，右のような表が完成します。それを Ｘ を確率変数，p を確率変数 Ｘ の確率分布と呼びます。

　一般に，離散確率分布(確率法則)は次のように定義されます。

[離散確率分布] 　確率空間が k 個の要素(これを単純事象という)1,2,3,･･･,k から成り立つとする。 　確率変数 X のとりうるすべての値 x1 ,x2 ,……,xk に対して，その値をとる事象 E1,E2,……,Ek と，それぞれの確率 p1 ,p2 ,･･･,pk　(p1 +p2 +･･･+pk= 1) が決まる。このとき，事象 i にその確率 pi (i=1,2,･･･,k) を対応させる対応，p1,p2,･･･,pk を離散確率分布(確率法則)という。

　上のことがらで大切なことは，確率を全部足せば 1 となることです。

例題２　さいころを振って出る目が１,３である確率を求めよ。
[解答]　さいころの目が{１,３}からなる集合を Ａ とします。このような集合 Ａ を事象と呼びます。このとき,Ｐ(Ａ)を求めます。

Note: 例題1のように,Ｐ の 括弧の中に１点が入る とき,小文字のｐを利用 し,例題2のように集合 や区間が入るときは,大 文字のＰを用います。

このとき｢独立｣という概念が必要ですが,この説明が必要な方は,ここを押して下さい。

例題３　１枚の硬貨を２回投げるとき,表の出る回数を確率変数 Ｘ とする。Ｘ の確率分布を求めよ。また，そのグラフを書け。
[解答]　まず,表の回数の種類に分けて確率を求め,表にまとめます。下のような分布を，二項分布 Bin(n,p) と呼びます(B は Binomial Distribution からきています)。この分布については， ここ1 か ここ2 に説明が書かれています。

離散から連続へ

　いかがでしょうか？　離散型の記号の利用方法について理解できたでしょうか？　それでは各自,練習してみましょう。

練習問題１　１枚の硬貨を４回投げるとき,表の出る回数を確率変数 Ｘ とする。Ｘ の確率分布を求めよ。また，そのグラフを書け。

二項分布

Note: 　シュミ レーショ ンで，p の値を 0.5 とし ましたが， p の値が 0 に近い 時，正規 分布にな かなか近 づいてく れません。 その時， 別の分布 (ﾎﾟｱｿﾝ分 布)で近似 します。

　ここで，例題３と練習問題１のグラフを見比べて下さい。高さ（値域）や ｘ の変化する領域（定義域）は異なりますが，全体の形は良く似たものとなっています。では，試行回数を大変多くすると，どのような形になるでしょうか？

　左のシュミレーションにおいて，変数 p は確率，変数 n は試行回数を表します。練習問題１では，表が出る事象が起こる確率 p は 0.5，試行回数 n は，4 なので，バーをドラッグして，その値に合わせてみて下さい。p，n のそれぞれの値は，右上のところに表現されています。練習問題１で見たグラフが確認されます。

　次に，p の値を一定にして，n の値を増加させてみて下さい。すると，ある一定の形（高さは異なりますが）に近づいていくことが分かります。この関数を，確率変数 X の確率密度関数を言って，具体的には左上のような関数となります。このような曲線を，正規分布曲線と呼びます。このことは，数学的にも証明されます。興味ある方は，ここを参照して下さい。また，正規分布に関する詳細は，後の第３章にゆずるとして，ここでは，連続標本空間の例を紹介します。

　一般に，(連続)確率分布は次のように定義されます。

[(連続)確率分布] 　Ｘ の分布曲線 y=f(x) において， が成り立つとき，Ｘ を連続確率変数，f(x) を Ｘ の確率密度関数という。ここで，Ｘ のとる値の範囲が α≦Ｘ≦β のとき，(2)より となる。また，Ｐを確率分布と呼ぶ。

　なかなか難しく書かれていますが，大切なことは，離散型でも述べたように，全体の確率を足せば 1 となるということです。つまり，分布関数において全体の面積はつねに 1 となることです。

例題４　確率変数 Ｘ のとる値 x の範囲が 0≦x≦2 で，その確率密度関数 f(x) が

S=P(0≦x≦2)=2×0.5=1

よって，確かに確率密度関数になっています。ここで，求める確率は P(0≦x≦1) なので，その領域は，図３のようになりますので，その面積は S₁=(2-1)×0.5=1×0.5=0.5 となります。したがって,求める確率は P(0≦x≦1) は,

となります。f(x) は確率密度関数なので，全体面積はすでに 1 となっていますので，これからは該当する部分の面積だけを求めることにします。P(0.1≦x≦1.3) の求め方は上と同じで，図４より S₂=(1.3-0.1)×0.5=1.2×0.5=0.6 となります。

もう一つ，練習問題を出しておきます。

練習問題２　確率変数 Ｘ のとる値 x の範囲が 0≦x≦4 で，その確率密度関数 f(x) が， f(x)=ax　　(0≦x≦4) で与えられるとき，定数 a をの値を求めよ。また，P(0≦Ｘ≦2)，P(2≦Ｘ≦4) を求めよ。

　最後の方は，結構ややこしくなってしまいました。なるべく数学記号は用いないで説明しているのですが，積分記号も出てしまいました。この記号が出てきたら，「該当領域の面積を出しているのだ」と思っていて下さい。

　面積を用いて，日常生活で起こる現象から，いろいろな確率を求めることができます。次の章より，そのいくつかについて紹介していきましょう。