５．ガンマー分布の性質
　X1,X2,･･･,Xp が互いに確率的に独立で同一分布 （指数分布）にしたがう確率変数列とするとき，X1+X2+･･･+Xp の分布密度関数は，

となります。一般に，

なる密度関数をもつ分布をガンマー分布 Γ(p,σ) と呼びます。ここで， とします。

確率密度関数：　


平均：E[X]=np　

分散：V[X]=npq　


　

性質１．ガンマー分布において，Γ(1,σ) は，指数分布 e(σ) となる。

　指数分布の生い立ち　耐久時間が，使用後の時間に関係なく一定であるような電球の，利用開始から破損するまでの時間を X としたとき，使用後 x 時間に破損がなく，次の十分小さい時間 h において破損する確率が P(x<X≦x+h|X>x)=Kh であることを用いて，確率変数 X の密度関数を求めてみます。

　X の分布関数を F ，密度関数を f とすると，十分小さい h に対して，


　要は，指数分布を含むガンマー分布は，一般に寿命や待ち時間など経過時間に無関係な一定値で，その平均がσの寿命や待ち時間 X の分布を表すようなときに用いられます。

性質２．ガンマー分布において，Γ(n/2,σ) は，カイ２乗分布 χ2(n) となる。
　X1,X2,･･･,Xn が独立に N(0,1) に従うとき，X12+X22+･･･+Xn2 の分布が自由度 n のカイ２乗分布 χ2(n) となります。


性質３．χ2 分布の正規分布近似
　χ2 分布は次の変換により，正規分布 N(0,1) に近似できる。

［証明］どちらの証明においても，次の２つの性質を利用します。




上のグラフより，(1)の近似よりも(2)の正規分布近似の方が良いことが分かります。