６ エレベーターの怪(2)

　エレベーターが２台以上あるときのシミュレーションを行なってみましょう。その前に，どのようなルールで，エレベーターが選択されるのか，説明しておきます。

ルール

１．エレベーターを呼び出す階は，任意に選択される。 ２．移動する階(行き先)も，任意に選択される。 ３．呼び出されるエレベーターは，その階に最も近いものを選択する。 ４．同時に異なる階で，呼び出すことはない。

　上のルールにおいて，１および２は，「呼び出す階，行き先の階に偏りはないものとする」と言い換えることができます。では，100階建てのビルディングに6機のエレベーターのある場合のシミュレーションを行うことにしょう。

　上のシミュレーションにおいて，観測階は，10階から10階ごとに90階までの階とします。ここで注意してほしいことは，観測階はあくまで観測する階であって，呼び出す階ではないということです。ＷＴ(Wating Time)とは呼び出してからの待ち時間，すなわち，呼び出されるエレベーターが現在の階とどれだけ離れているかを表しています。また，右端のグラフは，呼び出されたエレベーターが上の階からくる確率を表しています。

　このことは，TeX で有名な Donald E.Knuth は，Journal of Recreational Mahtematics の ｢The Gamow-Stern Elevator Problem｣の中で，次のような証明を行なっています。

　最初に,

(p ≦ 0.5)

とし，エレベーターが n 台設置されていると仮定します。このとき，私たちがいる階を｢our floor｣としたとき，エレベーターが上からやってくる確率 q を求めます。

Fig.1

　
　Step1.　まず，Fig.1のように，円周の長さが 1 である円を考えます。そして，円周上の真下の点を最も下の階，円周上の真上の点を最上階であるとします。このとき，私たちの階に対応する点を２種類に分けて考え，

エレベーターが上からやってくる場合の点

エレベーターが下からやってくる場合の点

とします。すると，円周は２つの部分｢Area A｣と｢Area B｣に分かれます。

　今，この円周上にエレベーターの台数分の n 個の点を一様(ランダム)に配置します。そして，それらの点を，円周に沿って時計周りに回転させることを考えます。

Fig.2

Step2.　Fig.2のように n 個の点(図では6個の点)が，全て｢Area A｣に配置されたとき，これらの点は全て右回りに回転するので，必ず｢Area A｣から｢Area B｣へ移動することになります。したがって，この場合は，全て私たちの階へは上からエレベーターがくることとなります。したがって，エレベーターが上からくる確率は q₁ は，

q₁ = ( 1 - 2p )ⁿ

となります。

Step3.　では，n 個の点の一部がFig.3 のように，｢Area B｣に入る確率 q'₂ は，

q'₂ = 1 - ( 1 - 2p )ⁿ

　このとき，Fig.3の左図のようにエレベーターが上からやってくる場合と，Fig.3の右図のようにエレベーターが下からやってくる場合に分かれます。

Fig.3

このようなとき，上からくる確率と下からくる確率は，互いに等しいと考えることができますので，エレベーターが上からくる確率 q₂ は，

となります。

　以上のことより，エレベーターが上からくる確率 q は，

となります。

　最初に p ≦ 0.5 と仮定しましたが，これは，容易に拡張することができ，0 ≦ p ≦ 1 のときは，

となります。このとき，n を無限大に近づけますと，限りなく0.5に近づいていくことが分かります。また,このことから，上のシミュレーションのように，100階建ての建物でエレベーターが6機あるとき，90階で上からエレベーターがやってくる確率 q は，

q = 0.5 + 0.5 * (1 - 1.8)|1 - 1.8|^6-1 = 0.368 ( > 0.1)

に近づくことが分かります。