５．チェビシェフの不等式

　今までの項目の中で，大切なキーワードをまとめますと，面積，分布，平均，分散(標準偏差)となります。

　ここで，一体，それらの間にどのような関係があるか見てみましょう。

　前章で述べましたように，分散(標準偏差)は各データが，平均からどれだけ離れているか，誤差の基準を与えるものだということを述べました。分布と面積の関係が必要です。

　今，確率密度関数を y=f(x) (0 ≦ x ≦ ∞) とし，平均を ，標準偏差を σ とします。グラフで見ますと，右のようになります。

　これらの情報から，皆さんが考えられることをすべてあげてみて下さい。どうでしょうか？

１．y = f(x) が密度関数であることから　

であることは，基礎編で学習しました。他，どのようなことが挙げられるでしょう。実は，

２．チェビシェフの不等式 　確率変数 Ｘ の平均　Ｅ[Ｘ]=μ，分散 Ｖ[Ｘ]=σ2 が共に有限ならば任意の ｋ (>0) に対して，

が成り立ちます。これは，どのような分布(離散でも連続)でも成立するところが特徴です。

　証明する前に，意味を考えてみましょう。Ｐ(|Ｘｰμ|≧kσ) とは，Ｘ の値が平均 μ との隔たりが，標準偏差 σ の k 倍以上になる確率，すなわち，上の図において水色のところの面積は，1/k² 以下になるということを意味します。ここで，離散的な分布について証明しておきますが，連続的な分布でも同様に証明することができます。

[証明]

　
　次の章で説明します正規分布において，本当に成り立っているか，左のシュミレーションで確かめてみることにしましょう。

　数直線の上にある，指を右へドラッグすることにより，標準偏差の係数 k の値を変化させることができます。たとえば，k=1 とすると，Ｐ(|Ｘ-μ|≧σ)=0.3125 という意味は,紫色の部分の面積が 0.3125 であるということですから,1/k²=1 であるから,不等式は成り立っていることがいえます。

　k をいろいろと動かすことにより，すべての k で成り立っていることが分かります。ここで，0＜k≦1 では，明らかに成り立っているので，実際には役に立ちません。

　ここで，チェビシェフの不等式の両辺に，Ｐ(|Ｘｰμ|＜kσ) を加えると，

となります。左辺は 1 なので，

となりますので，整理しますと，

となります。この式は，たとえば，平均より標準偏差の２倍以内に入る確率は，1-(1/2)²=0.75 となることを意味します。特に，ε=kσ と置きますと，

となります。

　このように，分散は一つの目安となります。次に，先に出てきました正規分布について説明を行ない，その後，このチェビシェフの不等式に基づいた，大数の法則を紹介することにします。