４　ちょっと休憩(1) (針を落として円周率!?)

　「針を落として，円周率が求まる!?」，一体どういうことでしょうか？　確率と面積を関連付けした考え方を利用すれば，いろいろな確率を求めることが可能となります。そのいくつかの例を挙げてみましょう。

　平面上に，平行線を何本か引き，その上から針を 1 本，無作為に落とす試行を繰り返します。その試行で，平行線と針が交わった回数を測定します。以上のことから，円周率を求めることができるのです。

　「百読は，一見にしかず」，下のシュミレーションで確かめてみることにしましょう。初期設定では，平行線の間隔を 80 とし（単位はcmでもなんでも結構です），平行線数を 6 本とし，試行回数を 2000 回としています。そして，スターとボタンを押して下さい。すると，下に交わった回数と試行回数が計測されます。一番下には，その計測値から，円周率が計算されています（計算方法の説明は後ろ）。いろいろと，試してみて下さい。

Buffon の針シュミレーション



　いかがですか？　若干の誤差はともないますが，どうして，このようにすれば，円周率を求めることができるのでしょうか？　実は，これも面積を用いることにより求めることができるのです。では，証明することにしましょう。

　今，針の長さを ，平行線の間隔を 2h とします。そして，平行線の間隔は，針の長さより大きいものと仮定します。すなわち，＜２h，つまり，＜h と仮定します。

　このとき，針が平行線と交わる確率 p を求めてみましょう。



　最初に，針が平行線と交わる条件を探ります。頭の中で，その状況を思い浮かべてみましょう。Fig.1 を見て下さい。＜h なので，この針は一度に２本の平行線と交わることはありません。

　今，針を落としたとき，針の中点Ｍから最も近い平行線までの距離を x とし，平行線に直交する直線と針の角（正の最小角）をθとします。すると，

となります。




(1)　標本空間の面積
　まず,標本空間Ω(全面積)を求めます。この中には，交わらない場合も含まれています。図を書けば，Fig.2となります。よって，

(2)　該当部分の面積　A


　次に,上の標本空間の中で,交わる場合を考えましょう。

となります。そして，この領域を図で表すと Fig.3 となります。よって，

(3)　交わる確率 p
　最後に，交わる確率を求めることにしましょう。求める確率 p は，

　このようにして，交わる確率をもとめることができます。

　このことを利用して，円周率を求めることができます。例えば，シュミレーションでは，針の長さ =60，平行線の間隔 2h=80 として，試行を 2000 回行ないました。その結果，交わった回数が 952 回であったとき，交わる確率は上の計算より ，よって，円周率は，

このことより，π=3.151 となります。

　上の例題では　＜２h と仮定しました。次に，針の長さが，平行線の間隔より長い場合は，どのようになるか考えてみましょう。次に例題を上げておきますので，力がある方は演習してみてください。

例題１　針の長さが 4h で，平行線の間隔が 2h であるとき，針と平行線が交わる確率 p を求めよ。




　もう少し，身近な日常生活で，私たちが不思議に思っている事柄を，この面積と確率の関係で探ってみましょう。(これは，ほんと，予定外です。製作しているうちに，どんどん横道にそれていく，個人的な趣味に走っているような気がしますが，興味ある方は，次に進んで下さい。)