§４ ベータ分布の性質
　ここでは，ベーター分布を紹介します。

　この分布の意味は，余り適当な例がありませんが（比較的用いられない），次のように考えて下さい。独立に一様分布 U(0,1) に従う p+q-1 個の確率変数を大きさの順に並べ替えたとき，小さい方から p 番め（大きい方からは q 番目）の確率変数 X の分布がベータ分布 B(p,q) となります。

　下のグラフの p,q のバーを上下にドラッグしますと，グラフが変化します。どのような値のときに，どのような形のグラフになるか，いろいろと確かめてみて下さい。ただし，B(p,q) をベータ関数

とします。

性質１．一様分布はベータ分布の特別な場合である。
［証明］これは明らかで，ベータ分布において，p=1，q=1 とおくと，f(X)=1 となります。実際，上のグラフで確かめてみると，一様分布に近づいていく様子が見られます。

　次に，このベータ分布で， とおき，q を十分大きくとりますと，ガンマー分布 Γ(p,σ) の特別な場合 Γ(p,1) に近づく説明を行ないます。その前に，少々予備知識が必要です。高校の数学�Vを履修した方は，ご存知だと思いますが， となります。e の値は，e = 2.71828･･･で，無理数（円周率のようなもの）です。また，ベータ関数とガンマー関数，ベータ分布とガンマー分布の密度関数を確認しておきましょう。

性質２．ベータ分布のガンマー分布近似
　ベータ分布とガンマー分布には次のような関係があります。

ここで，確率変数 X はベータ分布，確率変数 Y はガンマー分布に従うとします。

　［証明］　ベータ分布において とおきます。すると，


　証明は，少々ややこしいですが，上のグラフにおいて，ガンマー分布に近づいていることが分かります。q の値を 50 にすると，ほぼ一致していることに気がつきます。

性質３．ベータ分布と二項分布には次の関係があります。