３ よく利用する平均
ここで，まず，第２章で学びました離散変量における(算術)平均についてもう一度説明しましょう。一度に分からなくても，何とかなります。ゆっくりと，ゆっくりと。
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となって，山の学校も海の学校も同じ平均点となります。ところが，この場合では，数学と英語の得点の比率が異なっています。つまりこの比率から，山の学校では英語が重視され，海の学校では数学が重視されていることが分かります。。このような場合，平均は次のように計算されているのです。
すなわち，これは次のように書き換えることができます。
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確率変数 Ｘ が左の表で示される確率分布に従うとき，次の式の右辺で与えられる値を，確率変数 Ｘ の 期待値 または 平均値 といい，E(X) または |
このとき，p1+p2+…+pk＝１ であることに注意して下さい。また，
のとき，ちょうど算術平均となります。
この形を，連続変量に拡張しましょう。それを，下の表にまとめておきます。
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離散型 |
連続型 |
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分 |
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平 |
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分 |
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を入力し，最後にリターンキーを押して下さい。すると，あなたがこの世に現れてからの日数，とその日を含む月のバイオリズムが現れます。ただし，暦は西暦(グレゴリオ暦)として下さい。西暦が実施されたのは，1582年10月15日からであり，国によっても採用時期は異なります(参考文献 こよみハンドブック1994-1996，大阪市立科学館)。したがって，それ以降年代については，保証されていません。
バイオリズムにおいて，３曲線と横軸との３交点が近くかたまっているところが不安定で注意を要するそうです。このバイオリズムは，「人間の体には，身体−２３日周期，感情−２８日周期，知性−３３日周期，の３つのリズムの波がある」というところから成り立っているそうです。
「諸行無常」，人間，生きていれば良い時も悪い時もあります。バイオリズムからも分かるように，大きなうねりの中に人間は生きています。
でも，平均(どのように定義するか分かりませんが･･･)をとれば，「とんとん」で 0 となるのかもしれませんね。では，次に登場する分散はどんなものでしょうか？ 「波瀾万丈」という言葉があります。それは，生きるうえに生じる「誤差」，つまり，生き方の分散(または，標準偏差)が大きなことを意味するのだと思います。対処できる範囲を，誤差と呼ぶのかもしれませんね。果たして，あなたの生き方の分散は，大きいでしょうか？ それとも，小さいでしょうか？
生き方の分散と説明しましたが，統計学においても，分散とは一つの定規，または，目安のようなものです。すごく有効なものなのです。何かを求めようとしたとき，その目安の中に入っているかどうか，それが推定となります。
そこで，最後の大きな定理を述べるまでに，平均と分散の細かな性質についてまとめておくことにしましょう。独立については，ここをクリックして下さい。
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１． |
a(≠0),b は定数で，Ｘ=aＵ+b のとき， |
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２． |
Ｖ[Ｘ]=Ｅ[Ｘ2]ｰ(Ｅ[Ｘ])2 ←よく利用する！ |
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３． |
Ｅ[Ｘ+Ｙ]=Ｅ[Ｘ]+Ｅ[Ｙ] |
証明略 |
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４． |
a(≠0),b は定数で，Ｘ=aＵ+b のとき， |
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５． |
確率変数 Ｘ，Ｙ が独立のとき， |
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上の公式において，平均演算子「Ｅ」は，期待値 Expectation の頭文字からきているものです。上の式の中で，２つ目の公式が統計ではよく用いられます。覚えておいた方がよいでしょう。
一度に，理解できなくてもかまいません。たびたび繰り返し，利用していきますので，そのうちに理解できてくると思います。では，次に，平均と分散の関係を目で確かめていくことにしましょう。この章は，これでおしまい。
で表す。
