§１　数　と　式

何を示すのかが問題です

７ 等式の証明

　｢恒等式｣で言ったように，等式,不等式 のような式があげられます。これから，残り２つについて説明します。

　さて，等式の証明において，一番よく間違う答案は，｢何を証明したいのか｣が明確でない答案です。次の例題で説明しましょう。

例題１．a+b+c=0 のとき，次の等式を証明せよ。

2a²+bc=(b-a)(c-a)

[証明]

答　案　１	答　案　２
a+b+c=0 より c=-(a+b) なので， もとの式に代入すると， 2a2-b(a+b)=(b-a)(-a-b-a) 2a2-ab-b2=(b-a)(-2a-b) 2a2-ab-b2=2a2-ab-b2 ゆえに，左辺=右辺 となる。	a+b+c=0 より c=-(a+b) なので， もとの式に代入すると， 左辺=2a2-b(a+b) =2a2-ab-b2 右辺=(b-a)(-a-b-a) =(b-a)(-2a-b) =2a2-ab-b2 ゆえに，左辺=右辺 となる。

答案１と答案２，どこが異なるか，分かるでしょうか？

　答案１では，何を示したいのかが明確でありません。今，証明したい事柄は，｢左辺と右辺は等しい｣ということを示したいのです。つまり，｢＝｣が成り立つことを示したいのです。ですから，証明の初めより，この記号を用いれば結果は成立するのは明確です。

　では，どのように証明すればよいのでしょうか？　そこで，もう一度，答案２を見てください。この答案２では，右辺は右辺，左辺は左辺で分けて計算されています。つまり，計算された結果が等しいということが示されているのです。

　他にも，証明パターンがありますので，紹介しておきます。

(�T)｢左辺，右辺分離型｣証明法

左辺＝……＝……＝Ａ　右辺＝……＝……＝Ａ
　　　　　　∴　左辺＝右辺　注意!　Ａは整式を表します。

左辺ー右辺＝……＝……＝０
　　　∴　左辺＝右辺　

左辺＝……＝……＝右辺
　　∴　左辺＝右辺　

ワンポイント 　 のような式を，比例式 (３項の場合もあります)といい ます。この式は，ad=bc とも書 くことができ，これは，a:b=c:d における｢内項と外項の積は等し い｣ということと同じ表現となり ます。 　利用方法は， というよ うに，k とおき a=kb,c=kd とし て用いられます。

練習問題３　 のとき，次の等式が成り立つことを示せ。