§１　数と式
数と式章末問題解答ヒントと解説

１］
[解説]
　割り算を行なうとき，0 となる場合があるので，文字の扱いに注意すること。与えられた，２方程式を直線として考えると考え易い。
関連項目：１．｢０｣の使用上の注意　練習問題３

[解答]
　まともに計算してみる。

したがって，両辺を a+2 で割るが，ここで，a=-2 のとき a+2=0 となるので，場合分けを行なう。
(1)　a≠-2 のとき
　両辺を a+2 で割ことができるので，
(2)　a=-2 のとき
　もとの式にもどって考える。すると，ax+y=b は，-2x+y=b となる。すなわち，2x-y=-b となる。よって，もとの式は，

と書ける。この２式を直線とみなすと，傾きが等しいことに気がつく。
・b≠3 のとき，互いに平行となるので交点はなく，解なし。
・b=3 のとき，傾き および y切片 が等しくなり一致するため，解は無数。まとめると，


２］
[解説]
　因数分解のパターンがいくつかあったので，もう一度見直すこと。
　関連項目：３ 因数分解　例題１，　例題３

[解答]
(1)　(a2-b2)x2-a2+b2=(a2-b2)x2-(a2-b2)=(a2-b2)(x2-1)=(a+b)(a-b)(x+1)(x-1)
(2)　3x2-4xy-4y2=(3x+2y)(x-2y)　(← y を忘れずに!!)
(3)　(x2+4x)2-(x2+4x)-20=(x2+4x-5)(x2+4x+4)=(x-1)(x+5)(x+2)2
(4)　x2+(3y+2)x+(y+1)(2y+1)=(x+y+1)(x+2y+1)

３］
[解説]
　剰余の定理を直接用いる問題である。
　関連項目：４　剰余の定理　例題１, 練習問題２
[解答]
　剰余の定理を用いると，P(x)=2x3-3x2+x-2　なので，
(1)　P(1)=2-3+1-2=-2
(2)　P(-1)=-2-3-1-2=-8
(3)　

４］
[解説]
　｢割り切れる｣ということは｢余りが 0｣となる。
　関連項目：４　剰余の定理　練習問題１

[解答]
　剰余の定理より P(x)=2x3+ax+5 を x+1 で割った余りを求め，それが 0 となるように a の値を定めるとよい。
　P(-1)=-2-a+5=0
よって，a=3 となる。

５］
[解説]
　関連項目：５　因数定理　例題３，練習問題２

[解答]
　剰余の定理より f(2)=8+2a+b=2, f(-3)=-27-3a+b=-3 となる。よって，

を解くと，a=-6, b=6 となる。したがって，もとの式は f(x)=x3-6x+6 となる。ゆえに，f(x) を x-1 で割った余りは，f(1)=1-6+6=1 となる。


６］
[解説]
　因数定理のための問題である。
　関連項目：５　因数定理　まとめ２，　例題１

[解答]
　因数定理を用いて，割ることのできる因数を見つける。たいてい，x=-1,1,-2,2 を代入するとよい。そこで，P(x)=x3-6x2+11x-6 とおくと，
(1)　P(1)=0 となるので，P(x) は x-1 を因数に持つ。すなわち，x-1 で割り切れる。

(2)　P(1)=0 となるので，P(x) は x-1 を因数に持つ。すなわち，x-1 で割り切れる。


７］
[解説]
　細かいところに注意すること。何に対して恒等式となっているのか?　この場合は，x に関して恒等式となっている。つまり，｢x がどのような値をっとっても成り立つようにせよ｣ということである。
　関連項目：５ 恒等式　例題１

[解答]
　x がどのような値でも，この式が成り立つようにする。与式をまとめてみると，

となる。ここで，x に着目しまとめると，(a-2)x+(1-a+b)=0 となる。x がどのような値でも成り立つには，a-2=0, 1-a+b=0 となればよいので，a=2, b=1 となる。


８］
[解説]
　等式の証明で一番よく利用されるパターンは 左辺-右辺=0 ．
　関連項目：７ 等式の証明　例題２

[解答]
　左辺-右辺=0 となることを示す。

ところが，条件より a+b+c=0 なので，a(a+b+c)=0 となり，左辺-右辺=0 が示せた。


９］
[解説]
　両辺が正であること，根号が含まれていることから・・・。
　関連項目：８ 不等式の証明(1)　基本４，練習問題２

[解答]
　両辺はともに正なので，２乗しても大小関係は変わらない。したがって， を示せばよい。

ゆえに，左辺-右辺0．ただし，等号は a=b のとき成り立つ．


１０］
[解説]
　何が何であるための条件か？　主語が大切である。
　関連項目：１０ 必要条件と十分条件(1)　例題１
　関連項目：１１ 必要条件と十分条件(2)　例題１

[解答]
　１０ 必要条件と十分条件(1)例題１に沿って示すことにする。主語は青色で表現している。
(1)
　富士山である→日本一高い山　真
　日本一高い山→富士山である　真
　｢富士山である｣ことは｢日本一高い山｣であるための 必要十分条件　(C)
(2)
　a2=b2 → a=b　偽(反例：a=-1, b=1)
　a=b → a2=b2　真
　a2=b2 は a=b であるための 必要条件　(A)
(3)
　x=1 → x2=1　真
　x2=1 → x=1　偽(反例：x=-1)
　x=1 は x2=1 であるための 十分条件　(B)
(4)
　x<1 → x2<1　偽(反例：x=-2)
　x2<1 → x<1　真
　x<1 は x2<1 であるための 必要条件　(A)
(5)
　ab=1 → a=1 かつ b=1　偽(反例：a=0.1, b=10)
　a=1 かつ b=1 → ab=1　真
　ab=1 は a=1 かつ b=1 であるための　必要条件　(A)
(6)
　ax=1 → 　偽(反例：a=0 のとき，x の解はないため)
　 → ax=1　真
　ax=1 は であるための　必要条件　(A)
(7)
　a=b=0 → a2+b2=0　真
　a2+b2=0 → a=b=0　真
　a=b=0 は a2+b2=0 であるための　必要十分条件　(C)
(8)　
　４辺形 の４つの辺が等しい → 平行四辺形　真
　平行四辺形 → ４辺形 の４つの辺が等しい　偽(反例：平行四辺形は対辺が互いに平行)
　４辺形 の４つの辺が等しいことは 平行四辺形であるための　十分条件　(B)
(9)
　ab=0 → a=0　偽(反例：a≠0，b=0)
　a=0 → ab=0　真
　ab=0 は a=0 であるための　必要条件　(A)
(10)
　x>1 → x<2　偽(反例：x=3)
　x<2 → x>1　偽(反例：x=-2)
　x>1 であることは x<2 であるための　必要条件でも十分条件でもない　(D)

１１］
[解説]
　２次式で割ったときの余りの次数を考える。
　関連項目：５　因数定理　例題３

[解答]
求める余りを ax+b，商を Q(x) とおくと，

となる。一方，題意を剰余の定理を用いて表現すると，P(1)=8, P(-2)=2 となる。したがって，(ア)へ代入すると，

よって，a=2, b=6. ゆえに，求める余りは 2a+6.


１２］
[解説]
　｢m の値にかかわらず｣がポイント。これを言い換えると｢どんな m の値でも｣ということになる。すなわち，m に関する恒等式となるように x,y を定めればよい。
　関連項目：６ 恒等式　例題１

[解答]

ただし,直線x=-2を除く


　m に関し,恒等式となるように x,y を定める。与式を m に関して整理すると,

となる。これが m に関して恒等式となればよいので，x+2=0, 1-y=0 . よって，求める定点は，(-2, 1).
　図形的にいうと，どんな傾きであっても定点を通るという意味となる。


１３］
[解説]
　比例式の問題は，その式の値を k とおくことが定石。
　関連項目：７ 等式の証明　練習問題３

[解答]
　式の値を k とおく。つまり，とおく。すると，

となる。辺々加え合わせると，

したがって，a+b+c=0 または　k=0 となる。ここで，k=0 のときを考える。
　k=0 のとき，b-c=0, c-a=0, a-b=0 となる。このとき，a=b=c となる。ゆえに， が成り立つとき，a+b+c=0 または a=b=c が成り立つ。


１４］
[解説]
　不等式の証明で一番よく利用されるパターンは 左辺-右辺>0．ただし，計算は，まともに通分すると大変なので，少し工夫が必要である。
　関連項目：９ 不等式の証明(2)　証明法(T)

[解答]
　証明法は 左辺-右辺>0 であるが，少し計算に工夫が必要である。


１５］
[解説]
　求める式の左辺の文字に着目し，与えられた条件式から対象となる文字を消去していく。
　関連項目：７ 等式の証明　例題３

[解答]
(1)　条件式より，b2=1-a2, d2=1-c2 となる。また，ac+bd=0 より，ac=-bd. よって，a2c2=b2d2 となる。この式へ b2,d2 を代入すると，

右辺を展開して整理すると，a2+c2=1.
(2)　a2+b2=1, c2+d2=1 を辺々加えると (a2+b2)+(c2+d2)=2. これより，(a2+c2)+(b2+d2)=2. ここで，(1)より a2+c2=1 なので，b2+d2=1.
(3)　題意より c2+d2=1，(2)より b2+d2=1 なので，この２式より，b2=c2. よって，b=±c となる。
・b=c のとき，ab+cd=ac+bd=0　(∵　条件より ac+bd=0)
・b=-c のとき，ab+cd=-ac-bd=-(ac+bd)=0　(∵　条件より ac+bd=0)
ゆえに，ab+cd=0.