§２　数　列

13 漸化式(3)

　Ｂ．３項間の数列の場合(解の累乗の数列)


[解法の仕方]　上式において，一般項 an を任意の定数 A に対し， an=Aαn (α≠0) とおくと，

となりαは，２次方程式 α2 - pα -q = 0 を満たします。したがって，もう一方の解 β (bn=Bβn (β≠0，α≠β))も(2)式を満たすこととなります。よって，α≠βのとき，任意の定数 A，B に対し，

も(2)式を満たします(実際に代入し，確認してみましょう)。そこで，この解を求めるのですが，先に今までの方法とよく似た方法を紹介し，最後に簡易的な方法を紹介します。｢あぁー，もういやだっ！｣という声が聞こえてきそうですが，最初の解説はお話として知っておくだけで構いません。簡易的な方法は簡単なので，それまで，少々がまんして下さい。なお，α＝β のときは，以下の方法で求めることは可能です。

　それでは，今までとよく似た方法を紹介します。
Step.1
　(1) より， x2 -px - q = 0 の解を，α，β (α≠β)とします(このとき，解と係数の関係より，α+β=p,αβ=-q が成立している)。したがって，(1) 式は，

となりますので，この式を変形すると，

の２式を得ます。
Step.2
　上式(3)(4)のどちらを用いても同じ結果を得られますが，ここでは (3) を選んだと仮定します。そして，左のように辺々掛け合わますと，同じ項がありますので，それが消去され，

という関係式が得られます。
　この式は，２項間の漸化式となりますので，解くことが可能となります。



　しかし，この方法では解くことは解けても，解答を得るまでの精神力が持ちません。そこで，３項間の解が，

であることを利用し，次のように導くことができます。

　その前に，しばし休憩。右のアニメーションを見て下さい。右のグラフは，樹木曲線というもので，初期値を代入すると次々と，同じ式へ繰り返し代入していったものです。このアニメーションの場合，繰り返し回数10回としています。実際の木は，とても複雑な形をしていますが，このような方法を用いれば，それに似た形状を表現することも可能です。

例題１　次の関係式

によって定義される {an} の一般項を求めよ。
[解答]　Ｂ．３項間の数列の場合(解の累乗の数列)の[解法の仕方]より，A,B を定数，α,β を

なので，

の解としますと，求める一般項は，

となります。したがって，
Step.1
　２次方程式(6)の解を求めますと， となります。したがって，一般項 an を，

とおくことができます。
Step.2
　次に，この式が a1 = 1,a2 = 2 となるように，定数 A,B を定めます。そこで，上式へ，n=1, n=2 を代入し，左のように連立させ，定数 A,B を求めると，．
　よって，求める一般項は となります。

　けっこう，簡単に求めることができるでしょう！　この調子で，最後に練習問題を解いてみましょう。

練習問題１　次の関係式

    a1 = 1, a2 = 2, an+2 + an+1 - 2an = 0 (n≧1)

によって定義される {an} の一般項を求めよ。




　上の練習問題１は，２次方程式の解 α≠β でしたが α=β の場合はどうなるのでしょうか？　この問題に関しましては，簡易的な方法では求めることができません(めったにお目にかかりませんが，おまけで追加しておくことにします)。

練習問題２　次の関係式

    a1 = 1, a2 = 2, an+2 - 6an+1 + 9an = 0 (n≧1)

によって定義される {an} の一般項を求めよ。
ヒント：t2-6t+9=0 の解を求めますと t=3 (重解). すると，与式は，
an+2 - 3an+1 = 3(an+1 - 3an)
と変形されます。





　これで，漸化式は｢おしまい｣と言いたいところですが，その漸化式でとても興味ある，有名な漸化式を次の章で紹介しておきます。