漸化式(1)

§２　数　列

11 漸化式(1)

　右の図は，大きな将棋の駒で，最初の駒の位置を 0 とし， 30cm 間隔で立てて行こうというものです。このことを記号を用いて表現しますと，どのようになるのでしょうか？

将棋の駒の位置を 0cm とし，その後の駒の間隔を 30cm おきに立てる

　⇔　

将棋の駒の位置に番号をつけ，a₁, a₂,a₃,…… a_n,a_n+1,…… とすると，
　a₁=0
　a_n+1-a_n=30　(n=1, 2, 3, ……)
となるように立てる

となります。このように，

数列のいくつかの項の間に常になりたつ関係を示す等式

を

漸化式

と呼びます。

例１　与えられた数列を a₁, a₂,a₃,…… a_n,a_n+1,…… を用いて漸化式で表現せよ。

(1)　初項を 2, 公差 3 の 等差数列 の場合。
　初項が 2 より，a₁=2. また，公差が 3 なので，a_n+1-a_n=3 (n=1,2,3,……) となります。

(2)　初項を 2, 公比 3 の 等比数列 の場合。
　初項が 2 より，a₁=2. また，公比が 3 なので， (n=1,2,3,……) となります。

　一般に次のことが言えます。

まとめ８　等差数列と等比数列の漸化式

等差数列
初項 a ，公差 d のとき，a₁=a，a_n+1-a_n=d(=const.) (n=1,2,3,……)

等比数列
初項 a ，公比 r のとき，a₁=a，

　では，具体的に漸化式が与えらとき，どのような数列になるのか考えてみることにしましょう。

　例２　漸化式 a₁= 3, a_n+1= a_n- 5 が与えられたとき，どのような数列になるのか，第 5 項まで具体的に表現せよ。
[解答]

n = 1 のとき a

₁

= 3

n = 2 のとき a

₂

= a

₁

- 5 = 3 - 5 = -2

n = 3 のとき a

₃

= a

₂

- 5 = -2 - 5 = -7

n = 4 のとき a

₄

= a

₃

- 5 = -7 - 5 = -12

n = 5 のとき a

₅

= a

₄

- 5 = -12 - 5 = -17

　となります。左のアニメーションをご覧ください。最初に，初期値を与えられたら次々と次項が求められていくのが理解できます。しかし，この方法では，ある項の値を求めたいとき，その前の項の値が求まっていなければ求めることはできません。

　ある漸化式(項と項の関係式)が与えられたとき，直接，任意の項の値を求めることはできないでしょうか？　そうですね。一般項があれば求めることができます。では，漸化式から，一般項を求めることはできないでしょうか？　

　次に，漸化式から一般項を求めることを考えてみましょう。

例題１　次の条件で定められる数列 {a_n} の一般項を求めよ。

a₁= 3, a_n+1= a_n- 5

n=1,2,3,…

[解説]　いろいろな解答の方法がありますが，ここでは，２つ紹介します。理解しやすい方法で解いて下さい。

ﾜﾝﾎﾟｲﾝﾄ
｢n≧2 のとき｣という条件が
書き加えられています。どう
して，n=1 が除かれているの
でしょうか？　それは，
　　a_n+1= a_n- 5
によって生成される数列は，
n=1 としますと，あくまで，
n≧2 の項，すなわち， a₂
からで， a₁ はこの関係式よ
り生成してくれないからです。
したがって， n=1 を特別扱い
し，求められた一般項が，n=1
のときでも成立っているかどう
か確認する必要があるからです。

[解答１]　a_n+1= a_n- 5 より，
(1)　n ≧ 2 のとき，

= a

_n-1

- 5， a

_n-1

= a

_n-2

- 5， a

_n-2

= a

_n-3

- 5，……

となりますから，

= a

_n-1

- 5

= a

_n-1

- 5 = (a

_n-2

- 5)- 5 = a

_n-2

- 2×5

= a

_n-2

- 2×5 = (a

_n-3

- 5) - 2×5 = a

_n-3

- 3×5

……

= a

₁

- (n-1)×5

よって，　a_n= a₁- (n-1)×5 = 3 - (n-1)×5 = -5n + 8 となります。
(2)　n = 1 のとき，求めた一般項が成り立つかどうか調べます。a_n= -5n + 8 において，n = 1 としますと，

₁

= -5×1 + 8 = 3

となります。したがって，(1)(2)より，n = 1,2,3,…… に対し，一般項は，

= -5n + 8

となります。

[解答２]　
(1)　n ≧ 2 のとき
　a_n+1= a_n- 5 に着目し，a_n+1- a_n= 5 と変形し，右のように並べ，左辺，右辺と別々に加えます。
　すると，同じ項どうしが消去され，最後に左辺は a_n+1- a₁ が残り，右辺は -5×n = -5n が残り，

_n+1

- a

₁

= -5n

となります。そこで，初項 a = 3 なので，

_n+1

- 3 = -5n

ﾜﾝﾎﾟｲﾝﾄ
求められた一般項は第 n+1 項
a_n+1なので，第 n 項に戻す必
要があります。そのとき，n+1
の n へ n-1 を代入します。

となるので a_n+1= -5n + 3. よって，a_n= -5(n-1) + 3 = -5n + 8.
(2)　n = 1 のとき
　求めた一般項が成り立つかどうか調べます。a_n= -5n + 8 において，n = 1 としますと，

₁

= -5×1 + 8 = 3

となります。これは，もともと与えられている初項と一致しますので，(1)(2)より，n = 1,2,3,…… に対し，一般項は，

= -5n + 8

となります。

　いかがでしょうか？　解答２の方が分かりやすく，個人的によく利用しています。もう少し練習してみましょう。

例題２　次の条件で定められる数列 {a_n} の一般項を求めよ。

₁

= 1, 　a

_n+1

= a

+ 2

^n-1

n=1,2,3,…

[解答]　上の解答２の方法でを用います。
(1)　n ≧ 2 のとき

与式より

_n+1

- a

= 2

^n-1

となります。よって，辺々加え合わせますと，左のようになります。このとき右辺の和は，初項 1，公比 2 の等比数列となりますから，

a₁=1 なので，a_n+1= 2ⁿ-1+1 = 2ⁿ より，a_n= 2^n-1.
(2)　n = 1 のとき
　求めた一般項が成り立つかどうか調べます。a_n= 2^n-1 において，n = 1 としますと，

₁

^1-1

⁰

= 1

となります。これは，もともと与えられている初項と一致しますので，(1)(2)より，n = 1,2,3,…… に対し，一般項は，

^n-1

となります。

　では，練習問題を行なってみましょう。

練習問題１　次の条件で定められる数列 {a_n} の一般項を求めよ。

(1)　a₁= 2, 　a_n+1= a_n+ 3　　　　n=1,2,3,…
(2)　a₁= -2, 　a_n+1= a_n- 3ⁿ　　　　n=1,2,3,…

　次は，応用問題です。要領は，練習問題１と同じで，次々と同じ項を消去していきます。

練習問題２　次の条件で定められる数列 {a_n} の一般項を求めよ。

(1)　a₁= 5, 　a_n+1= a_n+ 2n² + n - 1　　　　n=1,2,3,…
(2)　a₁= 1, 　a_n+1= a_n- 2ⁿ　+ n　　　n=1,2,3,…

　それでは，この考え方を，もう少し一般的な形まで拡張してみることにしましょう。