§２ 数 列
４ 等差数列の和
前の章で，等差数列の一般項について学習しました。ここでは，その和について考えてみることにしましょう。
ここで，初項 3，公差 2，項数 10 の等差数列
を考え，その和を求めてみましょう。皆さんはどのようにして求めますか？ いろいろな求め方がありますが，ここでは，次のようにして求めることにします。
今，求める和を S10 としますと，
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となります。また，足し算は順序に関係なく一定なので，上の式は
とも書けます。要するに S10 を求めればよいわけですから，少し技巧的ですが，(1)と(2) 辺々(左辺は左辺，右辺は右辺)加え合わせますと，
となります。よって，2S10=24×10=240 より S10=120 となります。
一般に，初項 a，公差 d，項数 n の等差数列の末項を 
としますと，初項から第 n 項までの和 Sn は，
-d)+ …(3)
となります。また，S10は上の例と同様に，
+(-d)+(-2d)+ …… +(a-d)+a …(4)
と書けますので，(3)と(4)の辺々加えますと，
となります。よって，2Sn=n(a+) より 
となります。また，まとめ１より第n項(末項 )は an=a+(n-1)d と書けるので，次の公式が成り立ちます。
まとめ２を用いて，次の例題を解くことにしましょう。
例題１ 次の等差数列の和を求めよ。
(1) 初項 100，末項 30，項数 7
(2) 初項 -5，公差 3，項数 10
[解答] まとめ２をそのまま用います。
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これが基本です。数列の問題は，パズルに似ています。まとめ１，まとめ２をうまく用いて練習問題を解いていくことにしましょう。
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練習問題１ 等差数列において，初項から第n項までの和を Sn とする。S10=10，S20=40 のとき，Sn を求めよ。 |
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練習問題２ 9 で割れば 7 余り，15 で割れば 4 余る 3 けたの正の整数の総和を求めよ。 |
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a = 9x + 7 = 15y + 4 | ||
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9x - 15y |
= |
-3 |
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3x - 5y |
= |
-1 |
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5y -1 |
= |
3x |
となる。そこで，合同式を用いて，
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5y - 1 |
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0 |
(mod 3) |
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5y |
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1 |
(mod 3) |
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2y |
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1 |
(mod 3) |
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4y |
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2 |
(mod 3) |
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y |
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2 |
(mod 3) |
よって， y = 3n + 2 となります。したがって，これをもとの式へ代入しますと，
よって，an = 45n - 11 が得られます。
の等差数列の初項から第 n 項までの和 Sn は，