§２　数　列

３ 等差数列

　次のような数列 {an}

があります。このような数列の第 n 項 an はどのように表現されるでしょうか？


　この数列は，初項 1 に一定の数 3 を次々に加えて作られる数列です。たとえば，

つまり，第2項では初項 1 に 3 を 1 回加え，第3項では初項 1 に 3 を 2 回加え，第4項では初項 1 に 3 を 3 回加えていけばそれぞれの項の値を求めることができます。このことから，第n項の値がいくらであるか予測することができますね。

　第2項のとき 3 を 1 回，第3項のとき 3 を 2 回，第4項のとき 3 を 3 回加えるとそれぞれの項を求めることができますので，第n項は，初項に 3 を n-1 回加えればよいことになります。すなわち，これを式で表しますと，第n項 an は

となります。これを簡単にすると，an=3n-2 となります。この式が，上の数列を表しているかどうか n=1,2,3,… を代入して確かめてみて下さい。

　一般に，数列 a1,a2,a3,……,an,…… の各項に，一定の数 d を加えると次の項が得られるとき，

という関係が成り立ちます。この関係が成り立つ数列を 等差数列 と呼び d を 公差 と呼びます。上の例では，初項 1，公差 3 の等差数列となります。

　初項が a，公差が d である等差数列の各項は，

と表現されます。よって，一般項 an は次のように表現されます。


例題１　等差数列{an}において，初項 10，a10=28 の公差 d と一般項 an を求めよ。
[解答]　題意より an=10+(10-1)d=28 より，d=2.
　　　　よって，求める一般項 an は　an=2n+8.

例題２　第15項が 32，第43項が 116 の等差数列がある。200 はこの数列の第何項か。
[解答]　初項を a，公差を d，一般項を an とすると，

となり，これを解くと a=-10, d=3.　ゆえに，一般項 an は，an=-10+3(n-1)=3n-13.
よって，200 が第n項であるとすると，

したがって，200 はこの数列の第71項である。

　では，これらのことを基礎に次の練習問題に取り組むことにしましょう。

練習問題１　等差数列{an}において，公差 3，a8=12 とする。
(1)　初項 a と 一般項 an を求めよ。
(2)　第何項から 100 より大きくなるか。


練習問題２　等差数列をなす 3 数がある。その和は 15 で，平方の和は 83 であるという。この 3 数を求めよ。





　次の章では，等差数列の第n項までの和について考えます。その前に，古くからある列車の並び換えのパズルを行なってみてください。機関車が一台と客車が 6 台あります。そして，真ん中にはターンテーブルがあり，そこで最大 3 台の客車と機関車を回転させることができます。それを用いて，向かって右側に左から 1〜6 の番号のついた客車を並べて下さい。回転する数が少ないほどよろしい。あなたは何回で，並べかえることができますか。ただし，

して下さい。(最小回数は，19 回)