§２　数　列

５ 等比数列

　　次のような数列 {a_n}

3, 6, 12, 24, 48, 56, 112, 224, ……

があります。このような数列の第 n 項 a_n はどのように表現されるでしょうか？

　この数列は，初項 3 に一定の数 2 を次々に掛けて作られる数列です。たとえば，

第2項 a₂ は，a₂=3･2^2-1
第3項 a₃ は，a₃=3･2^3-1
第4項 a₄ は，a₄=3･2^4-1
………

つまり，第2項は初項 3 に 3 を 1 回掛け，第3項は初項 3 に 2 を 2 回掛け，第4項は初項 3 に 2 を 3 回掛けていけばそれぞれの項の値を求めることができます。このことから，第n項の値がいくらであるか予測することができますね。

　第2項は 2 を 1 回，第3項は 2 を 2 回，第4項は 2 を 3 回掛けるとそれぞれの項を求めることができますので，第n項は，初項に 2 を n-1 回掛ければよいことになります。すなわち，これを式で表しますと，第n項 a_n は

a_n=3･2^n-1

となります。実際に，上の数列を表しているかどうか n=1,2,3,… を代入して確かめてみましょう。

　この数列に関し，曽路利新左衛門と太閤秀吉の有名な話があります。新左衛門が秀吉からほうびに何がほしいかと聞かれたとき，新左衛門は，

「それでは三井寺(滋賀県大津　鐘で有名)の石段が 51 段あります。下から 1 段目に米 1 粒，2 段目に米 2 粒，3 段目に米 4 粒というように倍増していき，一番上の 51 段目まで米を頂きたい。」

と言いました。秀吉はそんな小さな願いでよいのか，とすぐ承知したのですが，勘定してみると，

2,251,799,813,685,247 (粒)

１升６万粒として，37,530 万石となり，当時の大名の総石高が 860 万石なので，とてつもない量になり，流石(さすが)の秀吉も参ってしまったということです。

　一般に，数列 a₁,a₂,a₃,……,a_n,…… の各項に，一定の数 r を掛けると次の項が得られるとき，

a_n+1=r･a_n　　　つまり　　　

という関係が成り立ちます。この関係が成り立つ数列を 等比数列 と呼び r を 公比 と呼びます。上の例では，初項 3，公比 2 の等比数列となります。

　初項が a，公比が r である等比数列の各項は，

a₁=a，a₂=a･r^2-1，a₃=a･r^3-1，a₄=･r^4-1，……

と表現されます。よって，一般項 a_n は次のように表現されます。

まとめ３　(等比数列の一般項) 　初項 a, 公比 r の等比数列の一般項 an は an=a･rn-1


注意:　上式で，r≠0，n=1 のときは，r⁰=1 と決めます。

例題１　等比数列{a_n}において，初項 3，a₄=375 の公比 r と一般項 a_n を求めよ。
[解答]　題意より一般項 a_n は a_n =3r^n-1 となる。a₄ =375 より，3r^4-1=375 なので，r³=125=5³.　よって，r=5. ゆえに，一般項は a_n=3･5^n-1.

　次に，等比数列の典型的な問題を紹介します。

例題２　第２項が 6，第４項が 24 である等比数列の一般項 a_n を求めよ。また，その第７項を求めよ。
[解答]　初項を a，公比を r，第n項を a_n とする。すると a₂=6，a₄=24 なので，

となります(なぜこのようになるかは，ここをクリックして下さい)。
(2)　次に，｢next｣を一回押した状態を F₂ とします。このとき，色のついた部分の面積の和 a₂ は，全体の面積 a₁ の なので，

となります。
(3)　このようにして考えますと，一般に，F_n のときの面積の和 a_n は，

となります。
(4)　よって a_n は，初項 ，公比 の等比数列となりますので，

となります。これは，三角形の各辺の中点を結んで三角形の中に三角形を繰り返し作成してできる図形を，シルビンスキーのギャスケット(詰め物)と呼ばれています。

　いろいろなところに，等比数列は隠れています。次は，等比数列の和についてお話します。