§２　数列
数列章末問題解答ヒントと解説

１］
[解説]　等差数列の基礎的な項目を，利用して解法する。求めたい式を先に仮定してから，解法するとよい。
関連項目：３．等差数列　　　まとめ１　(1)，(2)，(3)
関連項目：４．等差数列の和　まとめ２　(4)

[解答]
(1)　求める式を an = a1 + (n-1)d とおく。題意より a1 = 10, a10 = 37 なので，

となり，これより，d = 3.　したがって，

ゆえに，an = 3n + 7 .

(2)　一般項を an を，an = a1 + (n-1)d とおく。題意より a1 = 10, a10 = 37 なので，

これらより，a1 = -10, d = 3．

(3)　一般項を an を，an = a1 + (n-1)d とおく。題意より a1 = 3, d = -5 なので，

となる。したがって，n = 21 .

(4)　一般項を an を，an = a1 + (n-1)d とおく。題意より a1 = 2, a13 = 38 なので，

これらより，d = 3．よって，初項から第 n 項までの和 Sn は，

したがって， ．


２］
[解説]　等比数列の基礎的な項目を，利用して解法する。この問題も１］の場合と同様に，求めたい式を先に仮定してから，解法するとよい。(3),(4)の計算方法は，よく利用する方法なので，覚えておくと便利である。
関連項目：５　等比数列　　　まとめ３　(1)
関連項目：６　等比数列の和　まとめ４　(2),(4)
関連項目：５　等比数列　　　例題２　　(3)
[解答]
(1)　題意より，初項 7，公比 -2 の等比数列となるので，an = 7(-2)n-1.
Note：(-2)n-1 と -2n-1 の違いに注意すること。
例
　　　(-2)4 =　(-2)×(-2)×(-2)×(-2) = 16
　　　-24 　=　-(2 × 2 × 2 × 2) = -16　

(2)　題意より，等比数列の公式を用いると，

したがって，511a = -511 となるので，a = -1.

(3)　一般項 an を an = arn-1 とおく。すると，題意より，

となる。@，Aより a, r を求める。まず，A÷@ から a を消去する。

よって，r = ±3.
Note:　文字を消去するには，加減演算だけでなく，除法も利用されるので覚えておこう。

(4)　題意より，

となり，よって，Aより，

@を用いると，上式は， となるので，r = 2 .
これを，@へ代入し，a を求めると，31a = 1 より，.
ゆえに， .


３］
[解説]　新しい記号の使い方に注意し，慣れることが大切である。等比数列の一般項の公比 rn-1 の指数と等比数列の初項から第 n 項までの和の公式にある rn の指数の違いについて特に注意しよう。和の公式に利用される n は，足し合わせる項数 であると考えるとよい。
関連項目：８　いろいろな数列(2)　例題１
[解答]

Note:(4)は，初項が 2 となっているので，全体の項数は nｰ1 であることに注意が必要である。


４］
[解説]　数列の典型的な問題である。このような問題の取りかかりは，公式(８　いろいろな数列(2)のまとめ５)を適応することでワンパターンとなる。しかし，そのあとの因数分解には細心の注意が必要で，多くの場合，この因数分解で計算違いをする。特に，分数の係数をくくり出すときに計算違いが見られる。
関連項目：　８　いろいろな数列(2)　まとめ５
[解答]

　分数をくくり出すところが，ポイントである。


　初項 3，公比 2 の等比数列の和となる。


　4 を n-1 回加えることを意味する。


　第 2 項の n は，定数として扱う。したがって，第 2 項 = n × n = n2 となる。


　分数でくくり出すところで，ミスが多く見られる。注意しながらくくりだそう。


５］
[解説]　どちらの問題も，計算してしまわずに，各項そのままの形で，一般項を推定するとよい。(2)は，第 n 項自体が和の形になっていることに注意すること。
関連項目：　いろいろな数列(2)　練習問題１　(1)
関連項目：　いろいろな数列(2)　まとめ５　　(2)
[解答]
(1)　各項の左側の数値に着目すると，1,3,5,7, …．初項 1，公差 2 の等差数列。
右側の数値に着目すると，3,4,5,6, …．初項 3，公差 1 の等差数列。
よって，一般項 an は，an = (2n-1)･(n+2) .

(2)　一般項 an は，初項 1，公差 1 の等差数列の第 n 項までの和となっている。したがって，

よって，Sn は，



６］
[解説]　階差数列の問題である。公式を用いて解法するとき，意味を理解しながら利用すること。
関連項目：　いろいろな数列(3)　まとめ７
[解答]　第１階差数列を bk とすると，bk は，

より，初項 4，公差 2 の等差数列となるので，

となる。したがって，an は，

よって，Sn は，上式を用いて，



７］
[解説]　部分分数に分けて計算する。部分分数に分ける方法は，とにかく部分分数に分けて計算し，最後に係数をそろえて調整するとよい。

関連項目：　いろいろな数列(4)　例題１
[解答]　解説より，

を用いて分解する。



８］
[解説]　

左図のような向きで，数値を並べると，

    1 | 2,3,4 | 5,6,7,8,9 | 10,11,12,13,14,15,16 | 17, ……

となり，これは 群数列 となる。そこで，第 n 群の初項を an としたとき，それを n で表せばよい。


関連項目：　いろいろな数列(4)　練習問題２
[解答]　各群の初項(第１列)を並べると，

となる。これは第１階差数列を bk とすると，

したがって，

(1)　a7 = 49 -14 + 2 = 37　　よって，　(第７行，第３列) = 37 + 2 = 39
(2)　a10 = 100 - 20 + 2 = 82　　よって，　(第３行，第10列) = 82 + 16 = 98
Note:　第１行に着目したとき，その数列は an = n2 となる。したがって，(2)は

と求めてもよい。


９］　
[解説]　漸化式(2)の練習問題２と同じ方法で解法する。Ａ．２項間の数列の場合(2)のパターンで，与式を an+1 - α = β(an - α) の形に変形する。
関連項目：　漸化式(2)　練習問題
[解答]　an+1 = 2an + 4　を an+1 - α = β(an - α) という形にする。

より，α = -4, β = 2 ととると，n≧2 に対し，辺々掛け合わせると，
左のようになる。したがって，a1 = 1 であることを利用すると，

となる。よって，an = 5･2n-1 - 4 を得る。一方，n = 1 を an = 5･2n-1 - 4 の左辺へ代入すると，左辺 = 5･20 - 4 = 5･1 - 4 = 1.　よって，題意の a1 = 1 という条件も満たす。ゆえに，n≧1 に対し，an = 5･2n-1 - 4 となる。


１０］
[解説]　典型的な隣接３項間の漸化式。Ｂ．３項間の数列の場合 を参考にしながら解くとよい。
関連項目：　漸化式(3)　例題１
[解答]　与えられた漸化式より，t2 - 3t + 2 = 0 より，t = 1, 2. したがって，求める漸化式の一般項を，an とすると，定数 A, B を用いて，

とおくことができる。このとき，a1 = 1,　a2 = 3 となるように，定数 A, B を定める。

より，A = -1, B = 1. ゆえに，an = 2n - 1 .


１１］
[解説]　初項から第 n 項までの和を用いて，一般項 an を表すには，

を用いる。a1 = S1 であることにも注意する。
関連項目：　等比数列の和　練習問題３
[解答]
(1)　解説より，n≧2 に対し，

が成り立つので，

よって，2an = an + 2 なので，

(2)　(1)より， となる。
これより，n≧2 に対し，左のように辺々掛け合わせることにより，

が成り立つ。一方，a1 = S1 であることから，

よって， となる。そこで，求めた漸化式の右辺において，n = 1 を代入すると， となり，a1 と一致する。ゆえに，n≧1 に対し


１２］
[解説]　オ,カ さえ求まれれば,ワンパターンである。しかし,ア,イ,ウ が立ちはだかっている。等差数列の和なので，Sn を初項と公差で表現し，それが Sn = pn2 + qn + r と n に関する恒等式となるように，p,r を定める。
関連項目：　等差数列の和　まとめ２
[解答]
　初項 a1, 公差 d の等差数列の初項から第 n 項までの和 Sn は,

となる。よって，

が n に関し恒等式となればよいので，

辺々比較すると，p = (1/2)d,　a - (d/2) = q,　r = 0.

　p = 2, q = 3 を上式に代入することにより，d = 4, a = 5.

　よって，an = 4n + 1.