§２　数　列

２ 数列の基礎

1, 4, 7, 10,　……　　　……(1)

2, 4, 8, 16,　……　　　……(2)

といった具合に，ある規則にしたがってならんでいる数の列を 数列 といいます。数列 (1) は，はじめの数 1 に 3 を次々と足していってできる数列，数列 (2) は，はじめの数 2 に 2 を次々と掛けていってできる数列です。このとき，数列の各数を 項 といい，１番目の項を 第１項(初項)，第２番目の項を 第２項，……，n 番目の項を 第ｎ項 といいます。とくに，第ｎ項は数列の一般的な表現となっているので，一般項 といいます。

　これらを記号を用いて表しますと，上の数列(1)と呼ぶ代わりに数列 a (数列(2)と識別するために a としただけです))とします。このとき，初項 = 1，第２項 = 4，……　なのですが，各数が第何項であるか表現しようとすると，数に番号をつけることになり，とても分かりにくくなります。そこで，その代わりに a という文字の横に小さく番号をつけることにします。つまり，

a₁, a₂, a₃, ……

と書きます。つまり，a₁=1 a₂=4, a₃=7, …… を意味します。数列(2)は，(1)と識別するために b とすると，

b₁, b₂, b₃, ……

となり,b₁=2, b₂=4, b₃=8, …… を意味します。一般に数列の問題では，一般項 a_n を n を用いて表現することが問題にされます。

例題１　第 n 項 a_n が次の形に書かれる数列の，初項から第 4 項までを書け。
(1)　a_n=2n-1　　(2)　 a_n=3×2^n-1　　(3)　 a_n=n²
[解答]　n の中に 1,2,3,4,…を代入していけばよいのです。
(1)　a₁=2･1-1=1, a₂=2･2-1=3, a₃=2･3-1=5, a₄=2･4-1=7　より　1,3,5,7
(2)　a₁=3×2^1-1=3, a₂=3×2^2-1=6, a₃=3×2^3-1=12, a₄=3×2^4-1=24　より　3,6,12,24
(3)　a₁=1²=1, a₂=2²=4, a₃=3²=9, a₄=4²=16　より　1,4,9,16

練習問題１　第 n 項 an が次の形に書かれる数列の，初項から第 4 項までを書け。 (1)　　　(2)　 an=(-2)n-1　　(3)　 an=-2n-1　(4)　an=(-1)n･3n-1

　上の例題１のように，数列にはある規則が含まれています。たとえば，例題１において，

(1)では，次項を求めるには，与えられた項に 2 を加算する
(2)では，次項を求めるには，与えられた項を 2 倍する
(3)では，与えられた項を求めるには，その数列番号を 2 乗する

という規則があります。(1)のように，各項の差が等しい数列を 等差数列 と呼び，(2)のように，一定の数を掛けて求められる数列を 等比数列 と呼びます。これらの数列については，次の章で詳しく説明することにいたします。では，まだ何も学んでいませんが，次の数列にはどのような規則が含まれているのか見つけ出してみてください。

パズルです 数列， 12,1,1,1,　…… の次に続く3つの項を決定しなさい。 (リットン数学パズルより)

練習問題２　次の数列の一般項 a_n を求めよ(a_n を n で表せ)。
　(1)　2･3, 3･5, 4･7, 5･9, 7･11, 9･13, …
　(2)　0, 1, 0, 1, 0, 1,　…　

　上の問題は直感でも解けますが，次の章の等差数列から論理的に数列を考えていきたいと思います。