§2 数 列

9 いろいろな数列(3)

 ここでは,もう少し変わった数列を紹介しましょう。そこで,以下の数列はどのような特徴を持っているのか考えてみて下さい。

例題1 数列 1, 2, 5, 10, 17, 26,…… の一般項 an を求めよ。


[解説] この数列を見て,学習してきた等差数列や等比数列と異なり,一見したところで,どのような性質をもった数列であるか分かりません。
 そこで,まず最初に,各項の差をとってみます。左の説明を見て下さい。すると,

という数列が得られます。この数列の公差は一定 2 なので,各項の差の数列 bk等差数列となっています。

 このように,与えられた数列の差が数列となっているとき,1回その差を取ってできる数列を 第1階差数列 といいます。ときには,第1階差を求めても分からない場合は,第2階差数列第3階差数列 と求めていきます。一般に,差が数列になるとき,その数列を 階差数列 と呼びます。

[解答] 求める数列の一般項を an,第1階差を bn とします。このとき,an と bn との間にどのような関係があるか調べてみましょう。下のアニメーションを見て下さい。





 初項は an=1 は与えられていますので,第2項 a2 に着目し,どのようにして作られているのか見て下さい。それは,a1 に第1階差 b1 を加えたものとなっています。では,a3 はどうでしょうか? a1 に第1階差 b1 と b2 を加えたものとなっています。すなわち,

という構造が見えてきます。では,求める一般項 an は第1階差を第何項まで加えるとよいのでしょうか? そうですね。an は,初項 a1 に第階差数列の第 n-1 項 bn-1 までを加えるとよいことになります。これを数式で表現しますと,

となります。したがって,第1階差数列の一般項を求め,その第 n-1 項までの和を初項に加えればよいこととなります。上の例題で具体的に求めますと,bk は初項1,公差2の等差数列なので,bk = 1+2(k-1) = 2k-1 となりますから,

という結果を得ます。ここで注意してほしいことは,bk の n-1 項までの和のところです。これは,和の公式のところで,n のところを n-1 に変えて利用します。
 このようにして得た式は,an が少なくとも2項以上(n2)あるときに成立っているますので,初項で成り立つかどうか保証はありません。よって,求めた式が,初項でも成り立っていれば都合が良いので確かめてみます。n=1 を上式へ代入します。

したがって,n=1 のときも成立っているので,求める数列の一般項 an は,

となります。

 次の例題2は,シンプルに解答してみましょう。

例題2 数列 1, 2, 6, 13, 23, 36,…… の一般項 an を求めよ。
[解答] 第一階差数列(1,4,7,10,13,…)の一般項を bk とします。この数列は,初項 1,公差 3 の等差数列なので,その一般項 bk は,bk = 1+3(k-1) = 3k-2 となります。よって,n2 に対し,a は,

となります。この式に,n=1 を代入しますと,a1=(3-5+4)/2=1 となるので,n=1 でも成り立ちます。したがって,n≧1 に対し,a=(3n2-5n+4)/2 となります。

練習問題1 次の数列の一般項 an を求めよ。

 いかがでしたか? この階差数列の構造さえ理解できれば,あとはワンパターンとなります。少々面倒な計算ですが,じっくりと取り組むようにして下さい。ゆっくりと行きましょう。