§２　数　列

７ いろいろな数列(1)

　前の章で，

であることを学習しました。次に，

1²+2²+3²+ …… +(n-1)²+n²　……(1)

はいくらになるか，また，

1³+2³+3³+ …… +(n-1)³+n³　……(2)

はいくらになるか，考えることにしましょう。まず，(1)を求めることにします。

　少々，テクニカルな手法ですが，k に関する恒等式 (k+1)³-k³=3k²+3k+1 において，｢k=1 のとき｣，｢k=2 のとき｣ と順に考え，そして，辺々加え合わせます(つまり，左辺は左辺で，右辺は右辺で加えることです)。この手法は，数列においてよく利用する方法なので，理解しておきましょう。そうすると，下のようにして求めることができます。

　この結果，

(n+1)³-1³=3{1²+2²+3²+…+(n-1)²+n²}+3{1+2+3+…+(n-1)+n}+(1+1+1+…+1+1)

となります。ここで，右辺の第２項は，

となります。また，第３項の 1 の数は n 個あるので，

1+1+1+…+1+1=n

となります。よって，上式は，

と書けるので，1²+2²+3²+…+(n-1)²+n² は，

となるので，

となります。上の式の変形で，因数分解が用いられていますが，コツは共通因数を見つけ早いうちにくくり出しておくところです。恒等式 (k+1)⁴-k⁴=4k³+6k²+4k+1 において，｢k=1 のとき｣，｢k=2 のとき｣ と順に考え辺々加え合わせ，次の式を証明して下さい。

練習問題１　恒等式 (k+1)4-k4=4k3+6k2+4k+1 を用いて，次の式を証明せよ。

　これらの計算手法は，辺々を加え合わせることにより，途中の項がすべて消去され，等式の関係がとても簡単に表現されるところがポイントです。この手法は，後の章(漸化式)でも登場しますので，覚えておきましょう。また，因数分解を用いて式の変形もできなければなりませんので，計算力が問われます。

　みなさんがつまるところはこの因数分解を用いて式を変形していくところだと思いますので，しっかりと計算ができるようにしておきましょう(わざわざ，因数分解をもう一度学習するのではなく，この数列を学習しながら，因数分解をするような気持ちで行きましょう)。

　では，この章で学習しましたことがらをまとめておくことにします。