§１　数　と　式

６ 恒等式

　これから，恒等式，等式，不等式 に関連する説明を行います。それぞれ独立しておりますが，いろいろなところで関連しています。まず，一つ一つの持っている意味を，確認してゆきましょう。

　まず，恒等式の説明を行ないます。恒等式 とは，

含まれている文字にどのような値を代入しても，その等式の両辺の値が存在する限り常に成り立つ

等式をいいます。

　次に挙げる２つの例は，いずれも恒等式です。

例

　(1),(2)において，文字の中にどのような値を代入しても左辺の値と,右辺の値は一致します。このような式を，恒等式と呼びます。

ﾜﾝﾎﾟｲﾝﾄ 記号｢⇔｣は， p→q:pならばq かつ q→p:qならばp が同時に成立つことを 言います。詳細はここ をクリックして下さい。

a,b,c を定数とするとき，次のことが成り立ちます。

ax²+bx+c=0 が x についての恒等式　⇔　a = b = c = 0

[証明]
(ｱ) (⇒)
　ax²+bx+c=0 が x について恒等式であるとします。すると，x がどのような値でも成り立つので，x=0,1,-1 としても等式が成り立ちます。そこで，それぞれの値を代入すると，

x=0 のとき，c=0

x=1 のとき，a+b+c=0

x=-1 のとき，a-b+c=0

となり，a=0, b=0, c=0 となります。

(ｲ) ()
　a=b=c=0 とします。すると 0x²+0x+0 となり，x がどんな値に対しても左辺の値は 0 となります。　　　(証明終)

　上のことより，次のことがいえます。

まとめ３　恒等式


このことより，