§１　数　と　式

４　剰余の定理

ﾜﾝﾎﾟｲﾝﾄ
｢商｣とは割り算の答え，
｢積｣とは掛け算の答え，
｢和｣とは足し算の答え，
｢差｣とは引き算の答え
を意味します。


　割り算の問題です。

例１　次の割り算を行い，商と余りを求めよ。

[解答]　まじめに割り算を行ないますと，

このように考えますと，とても簡単ですね。この(1)式は，

とも書けます。すなわち，5367=39×商+余り となります。では，次の問題はいかがでしょうか？

例２　次の割り算を行い，商と余りを求めよ。

[解答]　これも次のように割り算を行ないますと，

(3)式も(2)式のように書換えると

となります。


　一般に，x についての整式を P(x)，Q(x) などと表されます。また，整式 P(x) に，x=α を代入したときの式の値を P(α) と表されます。今，P(x) を整式 xｰα で割ったときの商を Q(x) 余りを R としますと，これらの整式には，

という関係が成立ちます。(4)式は，一見あたりまえのことを言っているように見えますが，これが意外と役に立ちます。例えば，(4)式の両辺に x=α を代入しますと，

となりますので，

すなわち，整式 P(x) を xｰα で割った余り R は，P(α) となることを言っているのです。余りだけを求めるのなら，いちいち上のような割り算を行なわなくても，割る因数を xｰα とすると P(α) となるということを言っているのです。この性質を，剰余の定理 と呼びます。

なぜ α を代入するかと言いますと，(4)式の右辺において，第１項を 0 とするためです。つまり，割った商 Q(x) がどのような式であっても，その係数が 0 となり消去され余り R だけが残るからです。では，この性質を用いて，次の例題を行ないましょう。

例題１　整式 x3-6x2+3x+18 を次の１次式で割ったときの余りを求めよ。

[解答]　剰余の定理を用います。P(x)=x3-6x2+3x+18 とおき，P(x) を与えられた１次式で割った商を Q(x) 余りを R とします。
(1)　P(x)=(x-1)Q(x)+R と書けるので，余り R を求めるには，(x-1)Q(x)=0 となればよいので，x-1=0 すなわち，x=1 とします。よって，余り R は，

となります。

ﾜﾝﾎﾟｲﾝﾄ
　右の例題の答案は，剰余の定理
の構造(どの値を代入するのか)を
理解するために詳しく書かれたも
ので，実際の答案の書き方は，次
のようになります。
(1)　剰余の定理より，余りは，
P(1)=16 となる。

(2)　P(x)=(x+1)Q(x)+R と書けるので，余り R を求めるには，(x+1)Q(x)=0 となればよいので，x+1=0 すなわち，x=-1 とします。よって，余り R は，

となります。
(3)　P(x)=(x+2)Q(x)+R と書けるので，余り R を求めるには，(x+2)Q(x)=0 となればよいので，x+2=0 すなわち，x=-2 とします。よって，余り R は，

となります。
(4)　P(x)=x･Q(x)+R と書けるので，余り R を求めるには，x･Q(x)=0 となればよいので，x=0 とします。よって，余り R は，

となります。
(5)　P(x)=(x-3)Q(x)+R と書けるので，余り R を求めるには，(x-3)Q(x)=0 となればよいので，x-3=0 すなわち，x=3 とします。よって，余り R は，

となります。


ここでもう一度，上の例題１(4)の意味を考えてみましょう。結果は，P(3)=0 で余りは 0 となります。これはどういうことか考えてみてください。


余りが 0
↓
P(x) は x-3 で割り切れる
↓
P(x) は x-3 を因数に持つ


となります。つまり，剰余の定理を用いると，与えられた整式 P(x) は，x-α で割り切れるかどうか，簡単に見分けることが可能であると言えます。実は，これが因数定理なのです。この説明は，次の章で行なうこととしまして，剰余の定理を完璧にしておきましょう。

　上のカンガルーの問題は，剰余の定理に関する練習問題です。利用の仕方は，求めた余りをテキストボックスへ入力し，その後，必ずエンターキーを押して下さい。すると，次の問題が出てきます。うまくいけば，３題で終了しますが，一度でも間違えてしまいますと，最初からやり直すことになります。

練習問題１　整式 P(x)=4x3+ax2-5 が x+1 で割り切れるように，定数 a の値を求めよ。




　整式 P(x) を ax-b (a≠0) で割ったときの商を Q(x)，余りを R とすると，

となります。このことを利用しますと，次の練習問題ができます。

練習問題２　整式 P(x)=2x3+x2-4x+3 を 2x-1 で割った余りを求めよ。また，2x+1 で割った余りを求めよ。




　この剰余の定理が分かれば，次の章の因数定理を簡単に理解することができます。