§１　数　と　式

５　因数定理

　前の章で学習しました剰余の定理は，

まとめ１　(剰余の定理) 整式 P(x) を１次式 xｰα で割ったときの余りは P(α)となる。 注意:P(x) へ代入する値は，つねに x-α=0 となる x の値となる。

というものでした。この定理の利点は，整式 P(x) を１次式 x-α で割った余りだけを求めるなら，「わざわざ，割り算を行なわなくても， x-α=0 を満たす x の値，すなわち α を P(x) へ代入するだけで，余りが求められ，その余りは P(α) となる」ということを言っています。みなさんは，少し不思議に思うかもしれません。このような割り算の計算において，今まで重要視してきたものは，余りではなく商であったからです。どうして，余りに着目するのでしょうか？　次の例１を見てください。

例１　整式 P(x)=3x³-4x²+2x-1 を次の１次式で割った余りを求めよ。

(1) x-2

(2) x+1

(3) x-1

　この解は，簡単ですね。順に余りは，剰余の定理より P(2)=11,　P(-1)=-10,　P(1)=0 となります。

　上の例１で(3)に着目して下さい。余りは 0 となっています。すなわち，

余りが 0 → P(x) は x-1 で割り切れる → P(x) は x-1 を因数に持つ

この矢印の逆方向も，容易に成り立つことが分かります。この性質を，一般に述べたものを因数定理と呼びます。

まとめ２　(因数定理) １次式 xｰα が整式 P(x) の因数　⇔　P(α)=0 (記号｢⇔｣の説明はここをクリックして下さい。)

　因数定理は，「割り算を行なわなくても，余りに着目することにより，P(x) が xｰα で割り切れる，つまり，因数に持つかどうか知ることができるよ」ということを言っているのです。

例２　例１(3)において，本当に割り切れるかどうか割り算を行なうことにより確かめよ。
　
　整式の割り算でよく用いられる組立除法を用いて，確かめることにします。この方法は，割る式が１次式にしか適応できませんが，計算方法がとてもシンプルなので，よく利用されます。その方法は，右のシミュレーションで理解することができます。テキストボックスの中へ，-10 から 10 の整数値を入力するたび毎にエンターキーを押していきます。すると，自動的にシミュレーションが開始されます。ただし，x³ の係数 a は 0 でないとします。また，poseを押すと停止し，もう一度押すと再開します。

　上のシミュレーションを用いて確かめますと，商が 3x²-x+1 余りが 0 であることが分かります。これを式で書きますと，

(3x³-4x²+2x-1)÷(x-1)=3x²-x+1　余り 0　

となりますが，この式は次のようにも書けます。

3x³-4x²+2x-1=(3x²-x+1)×(x-1)

まさにこれは，３次式の因数分解です。みなさんは，因数定理と組立除法を用いて，因数分解を行なってしまったのです。ここで，今行なった手続きを，順を追ってまとめておきましょう。

Step1.　P(α)=0 となる α の値を見つける。
Step2.　整式 P(x) を組立除法を用いて xｰα で割る。
Step3.　Step2.で求めた商を用いて因数分解を行なう。

ﾜﾝﾎﾟｲﾝﾄ Step.1において，どのような 数値を代入するか？ 疑問に思 うかもしれませんが，試験など では，，α=±1，±2 を代入 すれば多くの場合 0 となりま す。

例題１　整式 x³-2x²-x+2 を因数分解せよ。
[解答]　P(x)=x³-2x²-x+2 とおきます。
Step1.　P(α)=0 となる α の値を見つけます。ここでは，P(1)=0 となります。
Step2.　整式 P(x) を組立除法を用いて xｰ1 で割ります。
Step3.　Step2.で求めた商は x²-x-2 なので，

よって，a=-3, b=-8.

　この例題の発展問題が次の例題で，試験ではよく出題されます。
例題３　整式 P(x) を x+1 でわると 9 余り，x-2 で割ると 3 余るという。P(x) を (x+1)(x-2) で割ったときの余りを求めよ。