§１　数　と　式

１０ 必要条件と十分条件(1)

　一般に，式や文章で表された事柄で

ものを 命題 といい，その命題が正しいことを真，正しくないことを偽である，という。

例　次の文章で，命題となるものはどれでしょうか？

(1)　Ａ君は，明日，ＣＤかパソコンを買います。

(2)　５×６＝３２

(3)　富士山は高い山です。

　どれが命題か分かりますか。(1)(2)が命題，(3)は命題ではありません。なぜなら，(1)(2)は真か偽か明確に分かりますが，(3)については，真か偽か判定することができません。「富士山が高い」といっても，「高い」の基準が明確でないため，判定できません。また，この例において，命題自体が間違っているか正しいかを問題にするのではなく，判定できることが可能であるのか，不可能なのかが問題であるということに注意してください。

　次に，２つの条件 p,q を用いて，

という形の命題を考えます。また，p を 仮定，q を 結論，といいます。

　そして，「p ⇒ q が真」であるとき，

といいます。何が主語になっているのか，注意しておきましょう。一度，例題で示してみましょう。

q は p であるための何条件か考えるには・・・



例題１　Ａという品物があります。そのとき，Ａがりんごであるということは，Ａが果物であるための何条件か。
[解答]上の定義にしたがって，次のようにして考えます。
(1)　「Ａがりんごである」⇒「Ａが果物である」
という命題が真であるかどうか考えます。

これは明らかに成立しますね。りんごであって，しかも，果物でないようなものはないです。

よって，この命題は成立するので，

(2)　「Ａが果物である」⇒ 「Ａがりんごである」
という命題が真であるかどうか考えます。

ワンポイント
成り立たない例のことを，
反例といいます。反例は，
多く示す必要はありません．
１つ示せば，それは，証明
となります。



この命題は偽となりますね。Ａが果物であるからといって，Ａはすべてりんごになるとは限りません。なぜなら，Ａがみかんである場合もありますね。

よって，この命題において，「Ａがりんごである」ことは，「Ａが果物である」ための，必要条件ではありません。

(1)(2)より，「Ａがりんごである」ことは，「Ａが果物である」ための，十分条件であって，必要条件ではありません。

　以上が解答ですが，解答の構成が理解できましたか。

　特に，(p ⇒ q かつ q ⇒ p)が真であるとき，p ⇔ q と書き，

といいます。

　では，いくつか練習問題を行なってみましょう。

練習問題１　次の各問に答えよ。

(1)　(x-2)(x+3)=0 であることは，x=2 であるための何条件か。

(2)　△ABC が正三角形であることは，△ABC が２等辺三角形であるための何条件か。

(3)　x を実数とするとき，x>1 であることは，x>-2 であるための何条件か。。

(4)　a=b であることは，am=bm であるための何条件か。　　

　特に，(4)は，間違いが多い問題です。問題の内容をよく理解しておきましょう。

　では次に，同じ必要・十分条件の問題を扱いますが，少し趣を変えて考えることにします。この章で，理解できなかった方は，ぜひ次の章で理解するようにしてください。私個人の考え方は，次の章の方が理解しやすく思うのですが，どうも人によって異なるみたいです。