整式Ａ，整式Ｂに対し，Ａ＞Ｂが成り立つことを証明するとき

Ａ−Ｂ＝・・・＝・・・＝Ｃ

差をとって，整式Ｃが正であることを示す方法。

(�U)｢別の整式と比較｣型　証明法

Ａ＞Ｂを示すとき，別の整式Ｃとそれぞれ比較し，

Ａ＞Ｃ，Ｃ＞Ｂ を示すことにより，Ａ＞Ｂを示す。

(�V)｢力ずくで比較｣型　証明法

左辺より右辺を導き出す方法で，計算力が必要。


Ａ＞・・・変形・・・＞・・・＞Ｂ

　これらのパターンを頭におきながら，次の例題に取り組んでみましょう。

例題１　a>1,b>1 のとき，次の不等式を証明せよ。

ab+1>a+b

[証明]ここで，２つの答案を紹介しましょう。

答案１	答案２
左辺−右辺＞０を示す。 ab+1-(a+b)>0 (ab-a)-(b-1)>0 a(b-1)-(b-1)>0 (a-1)(b-1)>0 ところで，題意より a>1，b>1 であるから， a-1>0,b-1>0 なので，(a-1)(b-1)>0 ∴　ab+1>a+b	左辺−右辺＞０を示す。 左辺ー右辺 =(ab-a)-(b-1) =a(b-1)-(b-1) =(a-1)(b-1) ところで，題意より a>1，b>1 であるから， a-1>0,b-1>0 なので，(a-1)(b-1)>0 ∴　ab+1>a+b

　上の２つの答案はよく似ていますが，どちらが正しい答案といえるでしょうか。

　答案１は，全く証明になっていません。

　というのは，ab+1-(a+b)>0 を証明するのに，最初からその結論を用いている所が問題なのです。証明で，｢＞であること(正であること)｣を証明したいのに，最初から｢＞であること(正であること)｣を用いていれば，結論も正となります。

　そこで，もう一度，答案１と答案２を見比べてください。答案１は，初めから 左辺ー右辺 と 0 を比較し，その結論まで書いてしまっています。答案２では，最後の結果でようやく 左辺ー右辺 と 0 を比較し，その結論として｢＞｣を記入しています。左辺ー右辺 と 0 を比較することにより正であることを示すことが目的なのです。

　ですから，いくら頭の中で理解していても，答案の表現方法が不適当な場合，全く正解にならないので，自ら｢何を証明するのか｣よく考えてから証明問題を解くようにしてください。

　では，いろいろな不等式の証明問題を解いてみることにしましょう。

練習問題１　次の不等式を証明せよ。 a2+b2+c2 ≧ ab+bc+ca
練習問題２　a>0 のとき，次の不等式を証明せよ。
練習問題３　相加・相乗平均の関係 を用いて，次の不等式を証明せよ。 　　　 a>0,b>0のとき，

　証明問題では，特に｢書き方｣に注意してください。そのためには，正しい証明を見ながら，何度も書き写すことが大切だと思います。

　理解したことを，人に分かってもらうことも大切です。あこがれている人に，手紙を書くとき，言葉の１つ１つの表現にとても気を使うでしょう。誤解されないような証明ができるように心がけましょう。