０÷３＝０

となります。ところが，３÷０ の値はいくらになるのでしょうか？　結論を言いますと，一般に，

任意の実数 a を 0 で割る式　

には値がなく，数学において ｢0 で割る行為｣ は，許されていないのです。
[理由１]
　もし，ある数を 0 で割ることが可能であるとします。例えば，3 を 0 で割った値が 5 になった(どのような値でもよいのですが)とします。すると，

となり，今，0 で割ることが許されていますので，上式の両辺に 0 を掛けますと，左辺は 0 で割ることができますので， となります。したがって，3=0 というような矛盾が生じます。3 を別の数に置き換えても成立ちますので，このようなことをしますと，すべての数は 0 となります。これは，数を 0 で割るという行為を許した結果矛盾が生じたといえます。したがって，このような演算を許してしまいますと，すべての値は 0 ということになってしまいますので，行なってはいけません。

[理由２]
　同じことを，グラフで見てみます。今 1÷x を， というように関数にし，そのグラフを考えます。

となりますから，この表をグラフで表しますと，左のようになります。このグラフから分かりますように，x の値が負の方向から 0 に近づきますと y の値は負の無限大(-∞)となり，一方，x の値が正の方向から 0 に近づきますと y の値は正の無限大(+∞)となります。したがって，x=0 に対応する y の値は存在しません。

例題１　x に関する方程式 ax=2 を解け。
[解答]　a≠0 と a=0 の場合に分けて考えます。
(1) a≠0 の場合
a≠0 なので，両辺を aで割ることができます。したがって，．
(2) a=0 の場合
a=0 をもとの式へ代入します。すると，0・x=2 となります。どのような値を 0 に掛けても，左辺は 0 となりますので，これを満たす解はありません。したがって，解なし。

練習問題１　次の方程式を x について解け。

(1)　ax=b

(2)　(a+1)x=3

a^ｎ=a⁰⁺ⁿ=a⁰･a^ｎ

となればよいので，a^ｎ=a⁰･a^ｎ が成り立つように a⁰ の値を定めれよいことになります。すなわち，a⁰=1 と定めます。

　ついでに，a^-m (m>0)も定めておきましょう。これも，a^m･a^ｎ=a^m+n において，n=-m とおきますと，

a^m･a^-m=a^m-m =a⁰=1

となります。よって，a^m･a^-m=1 となればよいので， と定めます。

　もう一つついでに， (a>0,m>0)の値も定めておきましょう。これは，指数法則 (a^m)ⁿ=a^mn が成立するように定めます。ここでは， とおきますと，

となります。よって，これは を n 回(n乗)掛ると a となるので と定めます。

例題２　次の値を求めよ。

(1)　150

(2)　3-1

(3)　3-3

(4)

(5)

[解答]
(1)　15⁰=1　(2)　　(3)　　(4)　　(5)　
練習問題２　次の値を求めよ。

(1)　1.60

(2)　0.1-1

(3)　1.5-3

(4)

(5)

ax+by+c=0　……(1)

と書かれます。例えば，直線の方程式 4x-2y+6=0 は，y=2x+3 とも書かれます。このとき，

傾き　… x が 1 変化したとき，y が変化する量

y 切片… x=0 のときの y の値

[解答]　単純に計算します。

より，解は (1,5) となります。これを，グラフを用いた角度から考えてみましょう。

　2x-y=-3 を直線と考えますと，y=2x+3 となります。また，x+y=6 を直線と考えますと，y=-x+6 となります。左の図を見てください。｢切片｣というボタンを押して，緑色の直線をドラッグしてみてください。すると，平行移動ができます。そして，｢傾き｣というボタンを押して直線をドラッグしてみてください。すると，直線が回転します。これを用いて，直線 y=-x+6 に合わせてみてください。すると，交点の座標は，今求めました連立方程式の解になっていることが分かります。すなわち，

連立方程式の解　⇔　交点の座標

となっているのに気がつくでしょう。では次の例題はいかがでしょうか？

例題３　次の連立方程式を解け。

　２直線には，次のような関係があります。グラフで確かめてみましょう。

　a₂=0,b₂=0,c₂=0 それぞれ成り立つとき，どのようになるのか考えてみてください。0 で困ったときは，この章にもどってきてみてください。