対数とその性質（2）

§４指数関数と対数関数
　
６.対数とその性質(2)
　
　対数の基本的な決まりを，前の章で学習しました。その決まりをここで，もう一度確認しておきますと，

です。この2つの式は，表現方法が異なるだけで，意味は同じものでした。この表現方法の関係を用いると，次のような性質が得られます。

**対数の性質**

　証明については，左のビデオでみることができます。利用方法は，ビデオラックからビデオを，ビデオ挿入口までドラックして持ってきて下さい。すると自動的にビデオが挿入されます。希望に応じて，各ボタンを押して下さい。早送りや巻き戻し，そしてejectボタンは通常のビデオボタンと同じ動作を行ないます。各ビデオは，証明番号に対応していますので，希望の証明をビデオで確認してみて下さい。
　
　では，これらの式を確認するために，次の例題を行なうことにしましょう。
　
例題１　次の式を計算にせよ。

[証明]　

　
　さあ，ここがふんばり所です。よぉーく，上の性質と見比べてみて下さい。とにかく，利用する式は，上の３つだけなのですから，絶対理解できます。本格的な練習問題にはいる前に，いくつか例題をこなしておきましょう。

例題１　次の式を簡単にせよ。

[解答]　利用する事柄は，上の3つの性質だけです。
　

　いかがですか？　一つ一つ気をつけてみていけば，理解できると思います。では，練習問題を行なうことにしましょう。

練習問題１　次の式を簡単にせよ。

　上の練習問題ができれば，対数を克服できたといえるでしょう。これが理解できるまで，じっくりと取り組んでみて下さい。それでは，最後にもう一つだけ性質を紹介しておきましょう。

　ゆっくりと説明していきますから，よく見ていて下さい。

ワンポイント
　突然，底を１でな
い正の数 b とするの
かとまどうと思います。
とにかく，正で1でなけ
ればなんでもよい数 b
を決め， と言う値
を考えて下さい。

　まず，

とします。これを，指数の形で表現しますと，P=a^r となります。ここで，底を a と異なる正の値 b を底，真数を P とする対数を考えます。すなわち，

と言う値を考えます。すると，

へ P=a^rをしますと，

という関係式が導かれます。結構，これが役に立つので，｢底の変換公式｣という名前がついていて，上の式を次のように書き直し，次のようにまとめられています。

　この式を用いて，いくつか練習してみることにしましょう。(｢ｂは 1 でない正の数｣と言っても，決めれないかもしれませんが，本当にどんな値でも構わないのです。)
　
例題２　次の式を簡単にせよ。

となります。各自，底を 5 にそろえて計算を行なってみましょう。
　
　さあ，最後の練習問題です。がんばりましょう。
　
練習問題３　次の式を簡単にせよ。

　練習問題３の(2)は少々ややこしいですが，一つ一つ計算を行なっていけば，難無くこなせます。自信をもって，乗り切って下さい。これで，対数とその性質を終わることにします。お疲れ様でした。