§4 指数関数と対数関数
 
6.対数とその性質(2)
 
 対数の基本的な決まりを,前の章で学習しました。その決まりをここで,もう一度確認しておきますと,


です。この2つの式は,表現方法が異なるだけで,意味は同じものでした。この表現方法の関係を用いると,次のような性質が得られます。

対数の性質




 証明については,左のビデオでみることができます。利用方法は,ビデオラックからビデオを,ビデオ挿入口までドラックして持ってきて下さい。すると自動的にビデオが挿入されます。希望に応じて,各ボタンを押して下さい。早送りや巻き戻し,そしてejectボタンは通常のビデオボタンと同じ動作を行ないます。各ビデオは,証明番号に対応していますので,希望の証明をビデオで確認してみて下さい。
 
 では,これらの式を確認するために,次の例題を行なうことにしましょう。
 
例題1 次の式を計算にせよ。

[証明] 
 
 さあ,ここがふんばり所です。よぉーく,上の性質と見比べてみて下さい。とにかく,利用する式は,上の3つだけなのですから,絶対理解できます。本格的な練習問題にはいる前に,いくつか例題をこなしておきましょう。

例題1 次の式を簡単にせよ。

[解答] 利用する事柄は,上の3つの性質だけです。
 
 いかがですか? 一つ一つ気をつけてみていけば,理解できると思います。では,練習問題を行なうことにしましょう。

練習問題1 次の式を簡単にせよ。

 次は,本格的な問題です。ややこしそうに見えますが,一つ一つの項を考えていきますと,簡単です。

 

練習問題2 次の式を簡単にせよ。

 上の練習問題ができれば,対数を克服できたといえるでしょう。これが理解できるまで,じっくりと取り組んでみて下さい。それでは,最後にもう一つだけ性質を紹介しておきましょう。

 ゆっくりと説明していきますから,よく見ていて下さい。

ワンポイント
 突然,底を1でな
い正の数 b とするの
かとまどうと思います。
とにかく,正で1でなけ
ればなんでもよい数 b
を決め, と言う値
を考えて下さい。


 まず, とします。これを,指数の形で表現しますと,P=ar となります。ここで,底を a と異なる正の値 b を底,真数を P とする対数を考えます。すなわち, と言う値を考えます。すると, へ P=ar をしますと,

となりますから, と変形します。すると,r は なので,代入しますと,最終的に

という関係式が導かれます。結構,これが役に立つので,「底の変換公式」という名前がついていて,上の式を次のように書き直し,次のようにまとめられています。

底の変換公式



 この式を用いて,いくつか練習してみることにしましょう。(「b は 1 でない正の数」と言っても,決めれないかもしれませんが,本当にどんな値でも構わないのです。)
 
例題2 次の式を簡単にせよ。

[解答] 底が異なるときは,底の変換公式を用いて,底をそろえて計算します。今の場合ですと,2,5 どちらでもよいですが,2 でそろえてみますと,

となります。各自,底を 5 にそろえて計算を行なってみましょう。
 
 さあ,最後の練習問題です。がんばりましょう。
 
練習問題3 次の式を簡単にせよ。

 練習問題3の(2)は少々ややこしいですが,一つ一つ計算を行なっていけば,難無くこなせます。自信をもって,乗り切って下さい。これで,対数とその性質を終わることにします。お疲れ様でした。