§４ 指数関数と対数関数
　
８.対数の応用
　では，最後に対数を用いて，応用問題に取り組むことにしましょう。今まで学習してきたことを用いれば，簡単に解けます。つまり，　という関係と，整数の性質を用います。

　本題に入る前に，少し準備しておきましょう。みなさん，1,999は何桁の数であるか分かりますか？　そうですね。なんか当たり前のことを聞いて，すみません。４桁ですね。これは，左の図のような関係になっています。つまり，10³<1,999<10⁴ となっています。すなわち，指数の範囲ではさみますと，10⁴の指数4が桁数となっています。他の例で，考えてみましょう。985,642は何桁の数でしょうか。このとき，10⁵<985,642<10⁶ となります。したがって，10⁶の指数6が桁数となっています。

　それでは，逆を考えてみます。ある数 a について，10²⁶<a<10²⁷ となったとしますと，a は27桁であるということが分かります。この性質を用いると，次の例題に適応できます。

例題１　は何桁の数か。ただし，　とする。
［解答］まず，=X とおき，両辺の常用対数をとることにしましょう（常用対数，対数をとるについては，右のワンポイントを見て下さい）。すると， となります。ここからは流れ作業です。

　ここで，X を指数の形で表現します。すると，

となります。ゆえに， は，16桁の数であることが分かります。

いかがですか？　何桁になるか，簡単に求めることができますね。右に，この形を利用した，練習問題があります。気楽に，チャレンジしてみて下さい。

　次に，同じ考え方を，小数に適応しましょう。0.00058 は小数第何位で 0 でない数がでてくるのか考えてみましょう。これも，すぐに分かりますね。第４位ですね。このようなことから，次の例題が生まれます。

例題２　 を小数で表すと，小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるか。ただし， とする。

ワンポイント 0.00058 を指数で表す ことを考えましょう。 そこで， であることを考えますと， なので， という関係が成り立ち ます。

　そこで，もう一度，0.00058 が第4位で 0 でない数が現れることを考え，0.00058 を 10 を底とする指数ではさむことにします。すると，10^-4<0.00058<10^-3 となります。ここで，逆を考えましょう。今，ある数 a があります。その時，10^-16<a<10^-15 となったとします。ことのとき，a は小数第何16位で 0 でない数が出てくるでしょうか？ そうですね。第位だということが分かります。この仕組みを用いて，上の例題２をもう一度考えてみることにしましょう。

［解答］　これも，最初は例題１と同じようにして考えます。まず，=X とおき，両辺の常用対数をとることにしましょう。すると， となります。ここからは，今回も流れ作業です。

　ここで，X を指数の形で表現します。すると，

となります。ゆえに， は，小数第6位で初めて 0 でない数が現れることになります。

　いかがですか？　前の例題と異なるところは，真数が小数になっているところです。これも分数の形にしておけば，対数の公式（§６.対数とその性質(2)←リンクしていますので，押して下さい）を用いて，簡単に計算することができますね。それでは，ここで，練習問題を行なうことにしましょう。

練習問題１　次の問いに答えよ。ただし，log102=0.3010，log103 =0.4771 とする。

　いかがでしたか？　内容は異なっていても，解く方針に変化はないことがお分かりでしょうか。指数より続きました対数も，これで終わることに致します。