§４ 指数関数と対数関数
　
７.対数関数とそのグラフ
　a>0，a≠１ とするとき，y=logax において，今まで ｘは固定していましたが，ｘ を変数とみなしますと，関数となります。この章において，対数関数 y=logax のグラフを書くことにしましょう。
　
そこで，もう一度，対数の定義(←リンクしています)を見直すことにしましょう。指数と対数との間には， という関係が成り立っています。これは，3つの数値 P,a,r の関係を表したもので，表現は異なりますが，同じ内容を言っています。

　ここで，点 (r,P) が，関数 y=ax 上にあるとすると，P＝ar が成り立ちます。これを対数で表すと,r=logaP となります。よって,点 (P,r)は,関数 y=logax 上にあることを意味しています。つまり，ちょうど，ｘ座標とy座標が入れ替わったものとなっています。

　このことより，関数 y=logax のグラフは，関数 y=ax のグラフについて，ｘとｙを入れ替えたものとなります。

指数関数と対数関数(a>1)
使用後，停止ボタンを押して下さい。

　右のグラフを見て下さい。左上に書かれているグラフは，y=2x のグラフです。そして，それをもとにして，x座標とy座標を入れ替えたグラフが，右下のグラフとなっています。つまり，右下のグラフが，y=log2x のグラフとなっています。このことから分かるように，x座標とy座標を入れ替えることは，ちょうど，y=x のグラフに対して対称になっている，よって，y=2x とy=log2x のグラフは，互いに y=x に関して対称となっていることになります。ここで，「Ｅ」という記号が登場していますが，これは，「exponential」と言って，「底を10とする」という意味を持ちます。つまり，Ｅ−５とは，１０の−５乗を意味します。

　対数のグラフは，x座標が 1 近辺のものが多いですが，左のzoom　out で分かるように，1を超えますとｘが増加しましても，ｙの値がほとんど変化しない関数だといえます。

zoom out
【使用上の注意】前述のアプレットが作動してい
るとき，動きが悪くなります。停止ボタンを押し
て，止めておいて下さい。

　　zoom out という左の図において，矢印のところにマウスを持っていき，ゆっくりと縦方向にドラッグしてみて下さい。グラフが，拡大したり縮小したりします。よく，拡大されたグラフは見かけますが，縮小されたグラフを見ますと，つまらないグラフとなりますね。

　ではここで，対数関数の性質をまとめておくことにしましょう。

　対数関数のまとめ
対数関数 y=logax に対して，
１．ｘの変化する領域（定義域）は正の実数，ｙの変化する領域（値域）は実数全体となる。
２．・ a>1のとき，単調に増加する。つまり，
　　x1＜x2⇔logax1＜logax2
　　・ 0<a<1のとき，単調に減少する。つまり，
　　x1＜x2⇔logax1＞logax2
３．対数関数は必ず，点 (1,0) を通る。

　　少々ややこしくなってきました。ようは，上のまとめ，単調増加であるか，単調減少であるか，底を見て判断するだけのことです。一度，例で確認しましょう。

例１　次の２つの数の大小をいえ。　

［解答］(1) 底は３(>1)なので，y=log3x はと単調増加関数なるから，真数を比較すると 7>6 なので， となる。
(2) 底は なので， は単調減少関数となるから，真数を比較すると　 なので， となる。

　いかがでしたか？　要するに，増加関数か減少関数か見分ければよいだけの話です。では，一つ問題を解いてみましょう。

練習問題１　次の3つの数を大小の順に並べよ。
　　

　少し難しかったでしょうか？　最後に，対数方程式，対数不等式を紹介しておきましょう。対数不等式では，増加関数か減少関数かに注意します。

例題１　次の対数方程式，対数不等式を解け。

[解答］a>0, a≠1 のとき，logaa=1 であることを用います。

(1) であるので， となります。よって，

ゆえに，真数を比較しますと， となります。

ワンポイント
真数条件とは，対数の｢真数部
分が正になる｣ということです。ど
うしてそのようになるかといいま
すと，r=logaＰ　⇔　P=ar におい
て，つねに，ar>0 なので，P>0
となるからです。

(2) まず，真数が正である条件(真数条件) x+1>0 より，x>-1 であることに注意します。次に，これも(1)と同様に変形を行ないます。そこで， であるから， となります。したがって，

となります。よって，底が，3>1 なので， は増加関数なので，x+1>81．つまり，x>80 となり，これは真数条件 x>-1 を満たしているので，x>80 となります。

　それでは，この例題をもと対数方程式，対数不等式の練習問題に取り組むことにしましょう。

練習問題２　つぎの方程式・不等式を解け。

　できたでしょうか？　対数方程式や対数不等式では，

１．底が１より大きか⇔増加関数か減少関数か
２．真数条件を満たしているか⇔真数が正か

に注意するとよいでしょう。では，この単元はこれくらいにしておきます。次は，最後の単元です。ゆっくりと，前に進んでいきましょう。