指数関数(3)

§４指数関数と対数関数
　
３.指数の拡張(3)
　
　それでは，次に，指数を有理数(分数)の場合に，広げていくことにします。やはりここでも，指数法則が成り立つように決めます。つまり,

有理数における指数法則(r>0，s>0,a≠0,b≠0)

１．a^r･a^s = a^r+s　　２．(a^r)^s = a^r･s　　３．(ab)^r = a^r･b^r

において，r,s が有理数に対しても成り立つように決めることにします。
　
　Ⅰ．正の指数 をもつ累乗 を決めます。
　上の指数法則が成り立つように決めますので，今，上の指数法則の２を用いることにより，

**有理数における指数法則(r>0，s>0,a**≠**0,b**≠0)
１．a^r･a^s = a^r+s　　２．(a^r)^s = a^r･s　　３．(ab)^r = a^r･b^r

となります。これは， が a^m の n乗根 であることを示しています。つまり，式で表しますと

と決めることにします。
　
　Ⅱ．負の有理数 -r について，上の指数法則１を用いることにより，

^-r

･a

= a

^-r+r

= a

⁰

= 1

とが成り立ちます。このことより，a^-r を次のように決めます。

　以上のことより，指数が有理数のとき，次のように定めることにします。

指数が有理数のとき

a>0, m,n を正の整数，r を正の有理数とするとき，

　　

と定めることにします。これから，a のことを，底(てい)と呼ぶことにします。

　これだけなら，分かり難いので，次の例で理解してみましょう。
　
例　次のような計算では，次のようになります。
　
　
　そこで，それぞれの表現が見て分かる右のような電卓で，いろいろな値を代入してみて下さい。利用方法を次に示しておきます。

**指数が有理数のとき**
a>0, m,n を正の整数，r を正の有理数とするとき，　　と定めることにします。これから，a のことを，底(てい)と呼ぶことにします。

【利用方法】
Step1.　まず，底を入力して下さい。底(｢てい｣と呼びます)とは，a^x について，x を｢指数｣，a を｢底｣といいます。
　
Step2.　底を入力した後，｢底｣というボタンを押して下さい。
　
Step3.　次に，指数を入力して下さい。
　
Step4.　最後に，｢指数｣というボタンを押して下さい。

　いろいろと試して，どのような関係になっているのか体験してみて下さい。では，ここで，今までのことがらのおさらいです。次の練習問題にとりかかりましょう。
　

練習問題１　次のものを求めよ。
練習問題２　次の式を簡単にせよ。
練習問題３　次の値を求めよ。

　いかがでしたか？　計算が少しややこしくなっていますが，構造自体は簡単です。分数計算に注意して行えば,解答できます。
　
　最後に,指数が実数の場合が残っています。これは,

でありますから,a>0 に対して,

は，次第に一定の値に近づきます。そこで，その値を と定めることにします。このようにすると，指数が全ての実数においても定義することができます。
　
　次は，これらの性質を用いて，指数関数のグラフを描くことにしましょう。もう一度，決まりを見直しておいた方がよいかもしれませんね。