§３　積分法

１.不定積分

　もう一度,微分法の単元を思い出して下さい。f(x)=x3，f(x)=x3-2 をそれぞれ微分しますと，f'(x)=3x2，f'(x)=3x2 となります。



　それでは，逆を考えましょう。つまり，ある関数 f(x) がありまして，その関数を微分しますと，f'(x)=3x2 となりました。その時，もとの関数 f(x) はどのような関数となるのか，求めることにします。



　f'(x)=3x2 となったのですから，f(x) は果たして，f(x)=x3，f(x)=x3-2 となるでしょうか？　明らかにこのようになるとは限りませんね。どうしてかというと，f(x)=x3+1，f(x)=x3-5 であるかもしれません。なぜこのようなことが起こったのかというと，定数項を微分すると，すべて 0 となるからです。

　したがって，もとの関数は一つに定まらなく，それら定数をすべて統括して，記号 Ｃ で表し，

と表します。Ｃ は constant(定数) を表し，積分定数と呼ばれます。また，新しく，f(x) から生成された関数(上の場合だとf(x)=x3+Ｃ)を求めることを，不定積分といいます。

　一般に，f(x) の不定積分の一つを F(x) とすると，f(x) の不定積分は，

となり，これを，新しい記号で表現しますと，

となります。上の式で， を「インテグラル」と呼びます。これは，足し算の親分だと考えておいて下さい。また，ｄｘも新しく出てきておりますが，今のところ，おまじないだと思って付け足しておいて下さい（意味の説明は後で行ないます）。この，F(x) を求めることを積分すると言います。
　
　上の関係を言葉で表現しますと，

ということになります。



　話が，少しややこしくなってきました。でも，本当に簡単なことを言っているので，理解して下さい。そのため，右の，トレーニングマシーンを作ったので，行なってみて下さい。説明を読むより，早く理解できると思います。
　
　不定積分の意味はともかく，とにかく求めることができれば，この単元はそれで良いです。

例題１　次の各式の不定積分を求めよ。

［解答］(1)は「微分すると1になった。もとの関数は？」と考えて下さい。すると，積分して，1になる関数は，ｘですね。しかし，それだけではありません。x+1 も x-3 もみんな，微分すると x となります。したがって，x+定数 となりますから，それを記号 C を用いて，x+C　（Ｃは積分定数） となります。これを次のように表現します。

（2）（3）も同様に考えてみますと，

検算ができますので，答を微分してみましょう。

　これから，Ｃを積分定数と決めて断りなく利用することにします。

　では，一度，自分で練習してみましょう。

練習問題１　次の式の不定積分を求めよ。

　いかがでしたか？　このように考えていくと，何か一般的な法則が見えてくるはずです。それを，次の章で紹介しましょう。