§３　積分法

７.定積分(回転体の体積)

　小学校や中学校で，

三角すいの体積



であることは，学習したと思います。その時，「どうして円すいの体積が，円柱の体積の３分の１になっているのか？」，また，「どうして球の体積は，このような公式で求めることができるのか？」不思議に思ったことがあると思います。その理由を今，解明することにしましょう。


　まず，高さ h，底面の半径 r の円すいの体積 V を求めることにしましょう。次のように考えます。

<Step1>
　左の図１を見て下さい。割り箸に直角三角形がついていて，そして，その割り箸をくるくるとまわしますと，図２のような円すいになります。このように回転してできる立体を，回転体と呼びます。この現象を利用します。



<Step2>
　上のことがらを，x-y 平面で考えることにしましょう。すると，高さが h であること，底面の半径が r であることから，x-y 平面では，直線 と 直線 x=h および x 軸で囲まれた部分を x 軸の回りに回転してできる立体と同じになります。





<Step3>
　さあ，ここで，前の章で学習した積分の考えたことがらを利用します。すなわち，求めたい立体を，細かい立体の集まりであると考えます。だるま落としのように，小さいだるまがいくつも集まっていると考えます。

　そして，その微小区間の体積を求めることにしましょう。






<Step4>
　この微小区間を，拡大した図が左の図です。上の立体において，x で切り目を入れるとその形は，円となります。したがって，この時，区間が非常に小さいので，この立体を円柱であると考えます。すると，この微小区間の高さは dx であることが分かります。では，底面の半径はどのように考えればよいでしょうか？　この立体は，直線 に沿ってできていますので， となります。したがって，円柱の体積は，定面積×高さ ですから，微小区間の体積 dV は，

となります。

<Step5>
　あとは，お決まり通りこの微小区間を足しあわせます。そうですね。定積分を用いることにします。

　どうですか？　やっている構造自体は，前の章で行なったことがらと同じです。この構造が分かれば，大変力強い味方となります。



　回転してできる立体を回転体と呼びました。そして，その性質は当たり前ですが，軸に垂直な切れ目を入れるとその断面は，円となります。右の図を見て下さい。

　上のテキストボックスに適当な数値を入れ，リターンキーを押して下さい。すると，３次曲線が現れ，その曲線を x 軸を中心に回転してできた立体となります。その図形上に，マウスを持っていきドラッグしてみますと，その立体が回転し，どのような図形になっているか，より理解を深めることができるようになっています。

　上の，円すいの場合ですと，そのテキストボックスに 0,0,1,0 と入力しますと，円すいの形が浮かんできます。それを，マウスを動かすことにより，回すことも可能ですので，確認してみて下さい。

　なかなか，内容が難しくなってきたと思います。このような図形で確かめながら，また，もう一度読み直し理解してみて下さい。やっているうちに，必ず，徐々に理解できることだと思います。焦りは，禁物です。ゆっくりと，ゆっくりとです。

　右の図で，テキストボックスに 0,0.5,0,0 と入力してみて下さい。これは，２次関数すなわち放物線です。これを，x 軸を中心に回転してできる立体はどのような形になるでしょうか？　確かめてみて下さい。そうですね。アンテナ，パラボラアンテナです。次に，その立体の体積を求めることにしましょう。考え方は，全く同じです。

例題１　放物線　 と，直線 x=2 と x 軸で囲まれた部分を x 軸を中心に回転してできる立体の体積 V を求めよ。
[解答]



　考え方は同じです。微小区間の体積 dV を求めます。

　高さは dx，底面の半径は なので，

となります。次に，これらを足しあわせればよいので，

となります。いかがですか？

　このような考え方を用いて，次の練習問題を行なうことにしましょう。

　　

練習問題１　次の図形を x 軸の回りに１回転してできる立体の体積 V を求めよ。

(1)　y=x-x2，x 軸

　　

(2)　y=x2-4，x 軸

　　



練習問題２　半径 r の球の体積を求めよ。

　　



　練習問題２では，「どうして球の体積は となるのか」，という疑問に答えてくれています。積分を学習しないとその疑問が解けません。

　回転体の体積にはまだまだ応用があります。興味ある方はもっと深く学習してみて下さい。これで，積分を終わることにします。