§３ 個数の処理
４．組合せ(1)
並べる順序に関係ない 組合せ について，考えていくことにしましょう。順列とどこが異なるかといいますと，今，４文字 A,B,C,D があるとき，この中から３文字取り出すとしますと，取り出した３文字が，A,B,C であるとき，
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順列ならば･･･ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA････となりこれらはすべて区別します。
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組合せならば･･･{A,B,C}････並べる順序に関係しません。
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という違いがあります。よく「順列」と「組合せ」を間違って用いられている場合がありますので，慎重に扱って下さい（心の中で，順列 を扱っているのだ，組合 を扱っているのだ，という自覚をもちましょう）。
では，組み合わせの問題を考えていくことにします。次の例を見て下さい。ここでも，前章と同じ，メンバーに登場してもらうことにしましょう。
例１ ５人から３人を選ぶ 組合せ を求めましょう。
そこでまず，組合せを求める前に，５人から３人を選ぶ順列を２通りの方法で求めることにしましょう。
先の順列の方法で求めますと，
となります。
今，5人から適当に3人選び(仮固定し)，その3人を対象に並べる並べ方は，
通りとなります。ここで，５人から３人を選ぶ選び方（つまり組合せ）の数を仮に m とします。すると，５人から３人選出し並べる並べ方は，上のように１つの組に対し 3! 通りありますから，５人から３人を選び並べる並べ方は，
となります。
よって，[step1]と[step2]は同じ数とならなければいけないので，
となります。したがって，このことより，組合せの数 m は，
で表すことにします（C は,順列を表す combination の頭文字です）。上の例１では，
となります。以上まとめますと，
特に，
とします。また，次の性質は，よく利用するので，ぜひ覚えておくと良いでしょう。
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nCr ＝ nCn-r ただし 0≦r≦n
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（上の公式より簡単に示すことができます。）
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ここで，この組合せ記号 C に慣れるため次の例題を行なっておきましょう。
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例題２ 次の値を求めよ。
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(1) 5C2
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(2) 20C18
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[解答]
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練習問題１０ 次の値を求めよ。
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(1) 9C3
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(2) 9C6
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(3) nC2
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記号になれましたか。では，組合せの問題を解いていくことにしましょう。
例題３ 男子２人，女子３人がいます。その中から，男子１人，女子２人を選ぶ選び方は何通りあるか。
[解答]
このような場合も，順列で学習したように，固定してみます。
まず，男子２人中１人を固定します。例えば，男子１人をＡ君としますと，女子の選び方は，３人中２人を選ぶ選び方と同じですから，3C2通り，また，Ｂ君についても3C2通りあります。
つまりこのことを一般化しますと，男子１人に対し3C2通りあるのですから，
となります。
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練習問題１１ 男子１０人，女子８人の中から４人の委員を選出するとき，次のような方法は何通りあるか。
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(1) 男子から３人，女子から１人選出する。
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(2) 男子，女子から少なくとも１人ずつは選出する場合。
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練習問題１２ １５人のうちから５人の委員を選ぶとき
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(1) 特定の２人甲，乙が必ず選ばれる方法は何通りか。
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(2) 甲は必ず選ばれ，乙は必ず選ばれない方法は何通りか。
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いかがでしょうか？ 順列とか組合せでは，最初に言ったように，数え方の勉強であることをもう一度思い出して下さい。うまく数えることです。そのために，樹形図を用いたり，固定したりしているのです。記号に惑わされず，うまく数える，うまく整理する，勉強をしているととらえて下さい。
例題４ 右の図(Fig.1)に含まれる長方形は，２本の横線と，２本の縦線で定まることを用いて，それらの長方形の総数を求めよ。
[解答]
Fig.2において，図のように２本の横線を仮固定します。すると，あと縦線２本を決めれば長方形が出来上がります。その選び方は，縦線５本より２本選ぶことになります。それは，
となります。次に，固定していた横線の選び方は，
なので，長方形の個数は，
となります。
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練習問題１３ 平面上の８本の直線が，どの２直線も平行でなく，どの３本の直線も１点では交わらないとき，交点はいくつあるか。また，いくつの三角形ができるか。
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これで，基本的事項は終わりです。次の章で，もう少しこのような考え方を発展させてみましょう。ゆっくりと，のんびりと････。
