§3 個数の処理
 
4.組合せ(1)
 
 並べる順序に関係ない 組合せ について,考えていくことにしましょう。順列とどこが異なるかといいますと,今,4文字 A,B,C,D があるとき,この中から3文字取り出すとしますと,取り出した3文字が,A,B,C であるとき,
 

順列ならば・・・ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA・・・・となりこれらはすべて区別します。

組合せならば・・・{A,B,C}・・・・並べる順序に関係しません。


という違いがあります。よく「順列」と「組合せ」を間違って用いられている場合がありますので,慎重に扱って下さい(心の中で,順列 を扱っているのだ,組合 を扱っているのだ,という自覚をもちましょう)
 
 では,組み合わせの問題を考えていくことにします。次の例を見て下さい。ここでも,前章と同じ,メンバーに登場してもらうことにしましょう。
 
例1 5人から3人を選ぶ 組合せ を求めましょう。
 



 そこでまず,組合せを求める前に,5人から3人を選ぶ順列を2通りの方法で求めることにしましょう。
 

 先の順列の方法で求めますと,

となります。
 

 今,5人から適当に3人選び(仮固定し),その3人を対象に並べる並べ方は,

通りとなります。ここで,5人から3人を選ぶ選び方(つまり組合せ)の数を仮に m とします。すると,5人から3人選出し並べる並べ方は,上のように1つの組に対し 3! 通りありますから,5人から3人を選び並べる並べ方は,

となります。
 
 よって,[step1]と[step2]は同じ数とならなければいけないので,

となります。したがって,このことより,組合せの数 m は,

となります。
 
 一般に,n個 の異なるものから,順序に関係なく,異なる r個 を取り出して1組としたものを,n個 のものから r個 とった 組合せ といい,このような組合せの総数を

で表すことにします(C は,順列を表す combination の頭文字です)。上の例1では,

となります。以上まとめますと,

 特に,

とします。また,次の性質は,よく利用するので,ぜひ覚えておくと良いでしょう。

 ここで,この組合せ記号 C に慣れるため次の例題を行なっておきましょう。

 
例題2 次の値を求めよ。
 

(1) 5C2

   (2) 20C18

 
[解答]


練習問題10 次の値を求めよ。
 

(1) 9C3

  (2) 9C6

  (3) nC2

  


 
 記号になれましたか。では,組合せの問題を解いていくことにしましょう。
 
例題3 男子2人,女子3人がいます。その中から,男子1人,女子2人を選ぶ選び方は何通りあるか。
 
[解答]



 このような場合も,順列で学習したように,固定してみます。
 
 まず,男子2人中1人を固定します。例えば,男子1人をA君としますと,女子の選び方は,3人中2人を選ぶ選び方と同じですから,3C2通り,また,B君についても3C2通りあります。
 
 つまりこのことを一般化しますと,男子1人に対し3C2通りあるのですから,

となります。
 

練習問題11 男子10人,女子8人の中から4人の委員を選出するとき,次のような方法は何通りあるか。

 

(1) 男子から3人,女子から1人選出する。

 

(2) 男子,女子から少なくとも1人ずつは選出する場合。

 
 


 


 
(1) 特定の2人甲,乙が必ず選ばれる方法は何通りか。

 

(2) 甲は必ず選ばれ,乙は必ず選ばれない方法は何通りか。

 
 

 


 
 いかがでしょうか? 順列とか組合せでは,最初に言ったように,数え方の勉強であることをもう一度思い出して下さい。うまく数えることです。そのために,樹形図を用いたり,固定したりしているのです。記号に惑わされず,うまく数える,うまく整理する,勉強をしているととらえて下さい。
 




例題4 右の図(Fig.1)に含まれる長方形は,2本の横線と,2本の縦線で定まることを用いて,それらの長方形の総数を求めよ。
 
[解答]
 
 Fig.2において,図のように2本の横線を仮固定します。すると,あと縦線2本を決めれば長方形が出来上がります。その選び方は,縦線5本より2本選ぶことになります。それは,

となります。次に,固定していた横線の選び方は,

なので,長方形の個数は,

となります。
 

練習問題13 平面上の8本の直線が,どの2直線も平行でなく,どの3本の直線も1点では交わらないとき,交点はいくつあるか。また,いくつの三角形ができるか。

 
 



 
 これで,基本的事項は終わりです。次の章で,もう少しこのような考え方を発展させてみましょう。ゆっくりと,のんびりと・・・・。