§1 2次関数

5.2次関数の決定
 今まで2次関数のグラフを求めてきましたが,この章ではグラフがある条件を満たすような,2次関数を求めてみよう。
 
 その前に,出てきました放物線の型をまとめておきます。

  上にまとめた,放物線の型を見きわめて,どのような放物線を作りたいのかという目標をもって解答を始めます。下の例題の解答の仕方を参考にしながら,2次関数を作るようにしてください。
 
 また,軸の方程式に関して,放物線が対称になっている ということも大切なので覚えておくことにしましょう。

求める放物線の見極めの目安は



例題8 2次関数のグラフが次の条件を満たすとき,各場合について,その2次関数を求めよ。
 
@ 頂点が (2,1) で,点 (0,5) を通る。
 
A 軸の方程式が x=3 で,2点 (-1,-11), (2,19) を通る。
 
B 3点 (-2,5), (1,-7), (3,-5) を通る。
 
[解答]まず上のどの型の放物線を利用するのか,決めなければなりません。
@ 頂点が与えられているので,求める関数を,y=a(x-p)2+q とおく。すると条件より,頂点が (2,1) であることより,求める式は

となります。また一方,(ア)は点 (0,5) を通るので,

となり,求める2次関数は,y=(x-2)2+1 となります。
 
A 軸が与えられているので,求める関数を,y=a(x-p)2+q とおく。すると条件より,軸の方程式が x=3 であることより,求める式は



となります。また一方,(イ)は2点 (-1,-11),(2,19) を通るので,

これを解くと,a=-2, q=21 . よって求める2次関数は y=-2(x-3)2+21 となります。
 
B 3点が与えられているので,求める関数を,y=ax2+bx+c とおく。すると条件より,与えられた3点を通ることより,次の3つの等式が成り立ちます。

ワンポイント
左のように,未知数が3つある
連立方程式を 3元連立方程式
といい,解法の仕方は,2元連
立方程式と同様に未知数を減ら
して解きます。


 (ウ)ー(エ)より 3a-3b=12,(エ)-(オ)より -8a-2b=-2 となるので,これを解いて,a=1,b=-3,c=-5 となります。よって,求める式は,y=x2-3x-5 となります。
 
 3元連立方程式とはいえ,解法の仕方は2元連立方程式同様,文字を消去していくことに違いはありません。一つずつ文字を消去していきましょう。

 このように,最初に「どの型の放物線を用いるか決める」ことが大切になってきます。では,練習問題で試してみましょう。
 
練習問題8 次の条件に適する2次関数を求めよ。
 

@ 頂点が (1,-2) で,点 (2,-3) を通る。
 


 

A 軸が x=1 で,点 (3,-1) を通り,y軸との交点が (0,2) である。
 


 

B 3点 (-1,9),(1,-1),(2,0) を通る。
 


 

C 2点 (-2,4),(1,1) を通り,頂点が x軸上にある。
 


 

D 放物線 y=x2-3x+2 を平行移動したもので,2点 (1,1),(2,3) を通る。


 


 
 いかがでしたでしょうか。Dはやや難しく解きましたが,y=ax2+bx+c を平行しても,x2 の係数は変わらないということを用いると,y=x2+bx+c とおけるので,もっと簡単に解けます。

 後半は,2次関数の問題というよりも,数学Aの式の計算と言った方がよいかもしれませんね。分からなくても,こういう解法の仕方があるのだと,気軽に考えておいてください。あと,もう少し2次関数の問題が続きます。