§２　微分法
６．接線の方程式

　平均変化率から，その区間を狭くし微分係数を求めました。それらはすべて，数学記号を用いて求めてきましたが，今度はそれらを確かめるため，グラフを用いて確認してゆきたいと思います。
　
　前の単元で，微分係数の図形的な意味は何であったか覚えているでしょうか？　そうですね。

を表していました。したがって，直線は，

ので(詳しくは｢数学U｣の教科書を参考に・・・)，今，２つの条件｢接線の通る１点と接線の傾き｣が与えられているのですから，すぐに求まるはずです。

では，実際，例題を用いてみてみることにしましょう。次の例題は，関数 f(x)=-x(x-4) について，点 P(1,3) における接線を求めています。ゆっくりと見てください。




　どうでしたでしょうか。何事も，遊び感覚で気軽にという気持ちで学習してください。確かに，微分係数が，点Ｐ(1,3)における接線の傾きになっていることが確かめられますね。それでは，ここで，｢ﾜﾝﾁｬﾝ先生｣の講義を受けて，いくつか例題を解いてみましょう。

例題２　関数 f(x)=-x(x-4) について，次の各点における接線の方程式を求めよ。

(1)　曲線上の点Ｑ(3,3)

　(2)　曲線上で，x 座標が -1 である点


[解答]
　まず，関数 f(x) を x について微分し，導関数 f'(x) を求めます。

となりますから，これを用いてそれぞれの接線の傾きを求めます。

(1)　点Ｑにおける接線の方程式なので，点Ｑにおける接線の傾きは，f'(3)となりますから，　f'(3)=-2.　したがって，

となります。ゆえに求める接線の方程式は，　y=-2x+9　となります。

(2)　今度は，x 座標が与えられていません。しかし，x 座標が与えられているので，簡単に求めることができます。

次に，x=-1 における y 座標を求めましょう。それは，今度は f(x) に代入すれば求められますね。したがって，

数学の苦手という人は，ここがふんばり所です。f'(x) と f(x) の違いをよく分かっておきましょう。

　あとは，(1)と同じ要領で考えればよいですね。

ゆえに解答は，y=6x+1 となります。

　上の図は，上の例題２をグラフにしたものですから，目で確かめておいてください。では，いくつか練習問題を行ってみましょう。

練習問題１　次の曲線の，示された点における接線の方程式を求めよ。(答えは，ボタンを押してください！。)

(1)　y=x2-2x　　(1,-1)

　(2)　y=x3+1　　(-1,0)

　　



練習問題２　曲線 y=x2-x の接線で，傾きが１であるものを求めよ。

　



　さて，次のような問題もあります。今までの問題では，曲線上の点(接点)が与えられていましたが，次の問題では与えられていません。その代わり，接点以外の点が与えられています。少し考えてみましょう。

例題２　曲線 y=x2+3x+4 の接線で，点 (0,0) を通るものを求めよ。また，その接点を求めよ。
[解答]
　接点が分からないからとりあえず (p,q) として考えましょう。あとは，いつもどおりです。つまり，点(p,q)における接線の傾きを求めます。そのため微分して，

よって，点 (p,q) における接線の傾きは 2p+3 となります。また，q は x=p のときの y の値なので，


となります。したがって，求める接線の方程式は

となりますね。これで終わり，となるのですが，最後に原点 (0,0) を通らせねばなりません。だから，この式の中に，(0,0) を代入して仕上げます。代入すると，

となりますね。因数分解して，(p-2)(p+2)=0 より p=-2,2 となります。これが，接点の x 座標です。ゆえに接点は， (ｱ)より(-2,2) と (2,14) となります。そして，(ｲ)へ代入すると，お目当ての接線の方程式が求まり次のようになります。

練習問題３　曲線 y=x2-x+3 の接線で，点 (1,-1) を通るものを求めよ。また，その接点を求めよ。