§２　微分法
７．関数の増減・極値とグラフ
　今まで平均変化率を出発点とし，その極値を微分係数と呼び，そこから導関数，接線の方程式と発展してきました。しかし，基本になることがらは，すべて，微分係数は「与えられた点における接線の傾きである」ということです。

　次に，このことがらを利用して，いろいろなグラフを書いてみましょう。

�@　どこで関数の値が増加しているのか

�A　どこで関数の値が減少しているのか

�B　どこで増加から減少，または，減少から増加に変化するのか

（ａ）　関数の値の変化する様子
　　　　（つまり，ｙの値の変化する様子ですね）




（ｂ）　接線の傾きの符号
　　　　（つまり，微分係数 ｙ’ の符号です）

関係１．ｙ’の符号が「正(+)」であると，ｙの値は増加し
　　　　ｙ’の符号が「負(-)」であると，ｙの値は減少している

関係２．ｙ’の符号が ＋ → ー ， − → ＋ と変化するところでは，微分係数つまり接線の傾きが０となっている

手順１．ｙ’の値が０となる ｘ の値を求め，増減表に記入します。

手順２．次に，ｙ’＝０ となるときの ｙ の値を記入します。

手順３．各区間での，ｙ’の符号を求めます。

Step1.まず，増減表の枠を作ります。

Step2.次に，導関数 y'=0 となる x を求めます。この場合だと，導関数は y'=3x²-12x+9=0 となります。因数分解を行うと 3(x-1)(x-3)=0 より x=1,3 が求まります。

Step3.これを表のようにうめます。と同時に，区間 x<1,1<x<3,3<x も記入しておきます。

Step4.次にx=1 と x=3 のときの，y' と y の値が求まりますから記入します。

Step5.それぞれの区間 x<1,1<x<3,3<x における y' の符号を求めます。この方法は，求めた導関数 f'(x) の中に区間内の数を適当に代入することで求められます。たとえば， x<1 における y'の符号を調べましょう。 x<1 を満たす数であれば何でもよいのですから，x=0 を代入してみましょう。y'=9>0 となりますので「正」，1<x<3のときはx=2 を代入してみましょう。y'=12-24+9=-3<0 となり，y'の符号は負となります。それらを，増減表へ記入していきましょう。

Step6.それらが求まれば，あとは簡単。関係２より，微分係数が「正」であるとき y は増加し，微分係数が「負」であれば y は減少する。

となります。これらを理解した上で，もう一度グラフを見てください。

　では，これらのことをもとにして，次の例題を行ってみましょう。

例題１　関数 y=x³-12x+4 について，極大・極小を調べ，そのグラフをかけ。
[解答]導関数 y' を求めます。y'=3x²-12 より y'=0 となる x を求めると，x=2,-2 となります。したがって，増減表は次のようになります。




極大値は，x=-2 のとき 20
極小値は，x= 2 のとき-12
グラフは右の図のようになります。

練習問題１　次の関数の増減，極値を調べ，グラフをかけ。

(1)　y=x(x+2)2	(2)　y=-x(x-1)2
(3)　y=x3-3x2-9x+2	(4)　y=x3-x2-x+1

　このほか，極値の問題に関して，いろいろな問題があります。それらの問題に関しては，補充問題で話題にしたいと思います。とりあえず，ここでは，「導関数を用いてグラフを書く」ということに的をしぼりました。次の単元では，このグラフを用いる問題にチャレンジしてみましょう。