§２　微分法
８．微分法の応用
　今まで学習した事柄を利用して，方程式 f(x)=0 実数解の個数を調べてみよう。やはりここでも，グラフを用いて調べてゆきます。出はさっそく例題で見てみましょう。

例題１.実数 a を定数とするとき，x についての方程式

x³-3x²+a=0

の実数解はいくつあるか。a の値によって分類して答えよ。
[解答]
　与えられた方程式は一つですが，まず上の式を a = -x³+3x²

y=-x³+3x² と y=a のグラフ

と変形します。次に，右辺と左辺と別々に分け，二つの関数

y = -x³+3x²

y = a

としてその交点の個数を調べ，次のような手順で考えてゆきます。

Step1.まず，与えられた方程式を x を含んでいる項と，定数部分に分類します。

Step2.次に，x を含んだ関数のグラフを，増減表を用いて描きます。

Step3.そこで，y = a (定数項) のグラフを，右のアニメーションのように上からずらしてゆきます。

Step4.ずらすことにより，２つのグラフとの交点の個数を調べてゆきます。

この場合ですと次のようになります。もっと詳しく言うと，

ある実数 a が与えられたとき，x³-3x²+a=0 を満たす解 x は，

関数 y=-x³+3x² と 関数 y=a との交点のｘ座標となる

ので，実際，x の値は分からなくても，その個数と解の符号は分かるということです。

(a)　a>4 または a<0 のとき　交点の個数は１個
（a>4 の場合，交点の ｘ 座標の符号が負であることから，解の符号は負となります。また，a<0 の場合，交点の x 座標の符号が正であることから，解の符号は正となります。）

(b)　a=4 または a=0 のとき　交点の個数は２個
（a=4 の場合，交点の ｘ 座標の符号の１つが負であること，２つ（接点）が正であることから，解の符号は１つが負，２つ（重解）が正となります。また，a=0 の場合交点の x 座標の２つ（接点）が０であること，１つが正であることから，解の２つ（重解）が０，１つが正となります。）

(c)　0<a<4 のとき　交点の個数は３個
（この場合，交点の ｘ 座標の符号の１つが負であること，２つが正であることから，解の符号は１つが負，２つが正となります。）

　上の方法のほかに，x³-3x²+a=0 の解は，y=x³-3x²+a のグラフにおいて，ｘ軸との交点となることに着目すると，その交点の個数が解の個数と一致します。このことより， y=x³-3x²+a のグラフを増減表を用いて書き，a の値によってｘ軸との交点がどのように変化するか調べてもかまいません。上の方法と同じ結果がえられます。一度試してみましょう。

練習問題１　３次方程式 2x3-3x2-12x+a=0 が異なる正の解２個と負の解１個をもつような実数 a の値の範囲を求めよ。
練習問題２　方程式 4x3-6x2+1=0 の実数解の個数およびその符号を調べよ。
練習問題３　２曲線 y=2x3-3x2 と y=-x2+2x+a が異なる３点で交わるような a の値の範囲を求めよ。

　これで，微分法の基礎はできましたので，微分の最後の単元でいろいろな問題にチャレンジしてみましょう。数学が苦手に思う人は，初めのイメージがなかなかできないことだと思います。自分なりに，アニメーションを見ながら自分のイメージをもつようにしてみてはどうでしょうか？　分からないところ，不明確なところがあればメールで送ってください。では次の項目でお会いしましょう・・・。