§２　微分法
１．平均変化率と微分係数を始める前に
　まず，日頃私たちがよく利用している「速度」ということを考え，一体，速度とは何かについて調べ，数学の世界に入っていくことにします。

　私たちは，「新幹線『のぞみ号』の平均速度は２００ｋｍです」という表現をよく耳にしますが，厳密に考えると，この言葉の中に分からない点が多く含まれています。箇条書きまとめますと，

という点が挙げられます。次のようなこともよく耳にします。
　
　「新幹線『のぞみ号』の最高時の瞬間時速は３００ｋｍです。」

　では，最高時速とは一体どのような意味を持つのでしょうか。実は，この「平均速度」と「瞬間速度」が，この単元のキーワードとなります。

　上の２つのキーワードについて，一つずつ考えていくことにしましょう。

　まず最初に，「平均速度」について考えます。「平均速度」とはどのようにして算出された値を言うのでしょうか。これは，皆さんもご存知のとおり，次のような計算をもとに算出されるのです。


となります。したがって，東京を基準にとってみると，東京−大阪間の距離は５５２．６ｋｍ，所用時間は２．５時間（２時間３０分）なので,上式に当てはめてみると，


となります。一時間で，２２１．４ｋｍも走るのですね。確かにすごいです。普通の乗用車では，一時間で５０ｋｍくらいですから，その速さが分かります。（これが正確な平均速度かというとそうでもないのです。この所用時間は，停車している時間も含まれているので，もっと正確に言うとその停車時間をひかねばならないのですが。。。）とにかく，計算方法だけは理解できるようです。

　次に，二つ目のキーワード「瞬間速度」とは一体どのようにして計算されるのでしょうか。平均速度といわれれば，ある区間をかかった時間で割り算を行うことが素直に想像できましたが，瞬間速度の場合どのように理解すればよいのでしょうか？ 　日頃，私たちが利用している言葉の中には，結構知っているようで分からないことがよくあります。瞬間速度も一つの例で，なんとなく感覚的には，

といったイメージを持っています。次のアニメーションを見て下さい。



　弘明君は，車で涼子さんを迎えにゆき，そして海に行くことになりました。その時，海までの距離区間ＡＢは１００ｋｍ，また，区間ＣＢは６０ｋｍとすると，家を出発してから海までかかった所用時間を，つまり区間ＡＢを２時間３０分，また，区間ＣＢを１時間かかったとします。このとき，区間ＡＢの平均速度は，

　ところが，彼女を乗せるときどこにゆくか相談をしている時間があるので，それを３０分とすると，もっと正確な所用時間は２時間となるので，

となります。したがって，１時間に約５０ｋｍ進んだことになります。

　もっと正確な速度を求めることはできないでしょうか？ あります！。もっと，区間を狭くすればよいのです。では，徐々に区間を狭くしてゆくことにしましょう。

　まず，区間をＣＤに狭めてみましょう。仮定より，区間ＣＤの距離が６０ｋｍ，それに要した時間が，１時間なので，

となります。もう少し区間を，狭くしてみることにしましょう。点Ｃを出発してから，富士山が一瞬見えます。富士山が見えている間の，速度を求めてみましょう。

　富士山が見えている間に，区間ＤＥ１．８ｋｍ進み，それに要した時間が２分であったとします。するとこの時の平均速度は，

となります。では，もっと区間を，狭くするその区間における平均速度は，どうなるのでしょうか？　

　区間を限りなく０に近づけたもの，それがまさにその点における（区間が小さくなり，やがて点となる）「瞬間の速度」となるのです。これを式を用いて表すと，次のようになります。

とすると，区間ＣＤにおける平均速度と点Ｃにおける瞬間速度は，

と書くことができます。
　では次に，前に述べた２つのキーワード「平均速度」と「瞬間の速度」を，もっと数学的に表現することにします。詳細は，次の単元で説明します。